複數的指數函式性質 關於本性奇點的性質

關於本性奇點的性質

在復變函式中，對於解析函式的孤立奇點，本性奇點(essential singularity) 是奇點中的「嚴謹」的一類。函式在本性奇點附近會有「極端」的行為。本性奇點附 近的行為可以用魏爾斯特拉斯(weierstrass)定理或更為強大的皮卡(picard)定理 描述。

魏爾斯特拉斯(weierstrass)定理:如果z0 是 f (z)的本性奇點，則對任何復 數a(可為)，存在乙個收斂於z0 的點列使得lim f (zn )  a (即z0 ，

nf ( z n )  a )。 魏爾斯特拉斯(weierstrass)定理的幾何意義:解析函式在本性奇點處發散

到 z 平面上任意一點。

皮卡(picard)定理:如果z0 是 f (z)的本性奇點，則對每乙個複數a(a≠∞)，除

掉 可 能 一 個 值 a = a 0 外 ， 必 有 趨 於 z 0 的 無 窮 點 列 ， f ( z n )  a ( n = 1 ， 2 , 3 ... . )。

(如果點 z0 是 f(z)的本性奇點，那麼在任何含有 z0 的開集中，f(z)都將取得 所有可能的復數值，最多只有乙個例外。)

例:z0是函式f(z)ez 的本性奇點，研究其性質。

魏爾施特拉斯定理

1)設a=∞，取zk 1，我們有 f(zn)en  (當n時)

即 a=∞，點列適合魏爾斯特拉斯定理中的論斷。

2)設a=0，取z  ，我們有 f(z )en  (當n時)nn

knn即 a=0，點列 適合魏爾斯特拉斯定理中的論斷。

11 3)設a0,a，由方程ez a來求相應的zn。我們得到 zlna

於是 zn= 1 (n0,1,2,) ln a2ni

若取 zn  1 (n0,1,2,) ln a2ni

我們就得到收斂於 0 且滿足條件 f (zn )  a的點列。於是

lim f(zn)a n

皮卡定理

除 a=0 外，點列不但滿足極限等式 lim f ( z n )  a ，而且滿足準確等式

nf ( z n )  a 。因為指數函式 ez 永遠不能是零，e1/z 在 0 處具有本性奇點，但仍然不

能取得零。

函式 exp(1/z)，在 z=0 處具有本性奇點(z 的色相表示它的輻角，而發光度則表 示絕對值)。這個影象說明了接近於奇點時，可以取得任何非零的值。

同樣方法可以研究函式 f(z)sin(1)等。

計算指數函式的演算法

這個級數對全體實數 x 都收斂，並且在 x 接近零時收斂得比較快。根據前面所述的 ex 的泰勒級數展開式，可以寫出以下 c 程式來為 decimal 資料型別新增乙個 exp 擴充套件方法 1 using system 23 namespace skyiv.extensions4 9static r...

計算指數函式的演算法

這個級數對全體實數 x 都收斂，並且在 x 接近零時收斂得比較快。根據前面所述的 ex 的泰勒級數展開式，可以寫出以下 c 程式來為 decimal 資料型別新增乙個 exp 擴充套件方法 1 using system 23 namespace skyiv.extensions4 9static r...

計算指數函式的演算法

這個級數對全體實數 x 都收斂，而且在 x 接近零時收斂得比較快。依據前面所述的 ex 的泰勒級數展開式，能夠寫出下面 c 程式來為 decimal 資料型別加入乙個 exp 擴充套件方法 1 using system 23 namespace skyiv.extensions4 9static r...