指數函式和三角函式相乘的函式的積分
在複習隨機訊號處理課程，做第三章《隨機訊號經過線性系統》的習題時，發現很多習題都需要求三角函式和指數函式乘積的積分，下面用三種方法來求類似積分。
問題描述：求\(s_1=\int e^(mx)dx,s_2=\int e^(mx)dx\)
方法1：(尤拉公式)
\[\begin
\begin
s_1&=\int e^(mx)dx=\frac\int e^(e^-e^)dx\\
&=\frac [\int e^-e^dx]=\frac[\frace^-\frace^]\\
&=\frac\lbrace \frace^[(mx)+i(mx)]-\frace^[(mx)-i(mx)]\rbrace\\
&=\frac\lbrace (\frac-\frac)e^(mx)+i(\frac+\frac)e^(mx)\rbrace\\
&=\frac[ne^(mx)-me^(mx)]\\
&=\frac(e^)' & e^\\ [(mx)]' & (mx)\end}
\end
\end\tag
\]\[\begin
\begin
s_2&=\int e^(mx)dx=\frac\int e^(e^+e^)dx\\
&=\frac [\int e^+e^dx]=\frac[\frace^+\frace^]\\
&=\frac\lbrace \frace^[(mx)+i(mx)]+\frace^[(mx)-i(mx)]\rbrace\\
&=\frac\lbrace (\frac+\frac)e^(mx)+i(\frac-\frac)e^(mx)\rbrace\\
&=\frac[ne^(mx)+me^(mx)]\\
&=\frac(e^)' & e^\\ [(mx)]' & (mx)\end}
\end
\end\tag
\]方法2：代數求解
由\[\begin
\begin
\lbrace e^(mx)\rbrace '&=ne^(mx)+me^(mx)\\
\lbrace e^(mx)\rbrace '&=ne^(mx)-me^(mx)
\end
\end\tag
\]對上式左右兩邊同時對\(x\)積分，可以得到
\[\begin
\begin
e^(mx)&=n\int e^(mx)dx+m\int e^(mx)dx=ns_1+ms_2\\
e^(mx)&=n\int e^(mx)dx-m\int e^(mx)dx=ns_2-ms_1
\end
\end\tag
\]聯立(4)可以求解得到
\[\begin
\begin
s_1&=\frac(e^)' & e^\\ [(mx)]' & (mx)\end}\\
s_2&=\frac(e^)' & e^\\ [(mx)]' & (mx)\end}
\end
\end\tag
\]方法3：分部積分直接求解
\[\begin
\begin
s_1&=\int e^(mx)dx=\frac\int (mx)d(e^)\\
&=\frac(mx)e^-\frac\int e^d[(mx)]\\
&=\frac(mx)e^-\frac\int e^(mx)dx\\
&=\frac(mx)e^-\frac\int (mx)d(e^)\\
&=\frac(mx)e^-\frac(mx)e^+\frac\int e^d[(mx)]\\
&=\frac(mx)e^-\frac(mx)e^-\frac\int e^(mx)dx\\
&=\frac(mx)e^-\frac(mx)e^-\fracs_1
\end
\end\tag
\]從(6)可以得出\(s_1=\frac(e^)' & e^\\ [(mx)]' & (mx)\end}\)，同理可以求得\(s_2=\frac(e^)' & e^\\ [(mx)]' & (mx)\end}\)。
需要注意的是，在上面的積分求解過程中均省略了常數。
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