拉普拉斯運算元是乙個二階運算元，比起一階微分運算元，二階微分運算元的邊緣定位能力更強，銳化效果更好。
使用二階微分運算元的基本方法是定義一種二階微分的離散形式，然後根據這個形式生成乙個濾波模版，與影象進行卷積。
濾波器分各向同性濾波器和各向異性濾波器。各向同性濾波器與影象進行卷積時，影象旋轉後響應不變，說明濾波器模版自身是對稱的。如果是各向異性濾波器，當原圖旋轉90度時，原圖某一點能檢測出細節（突變）的，但是現在卻檢測不出來了，這說明濾波器不是對稱的。由於拉普拉斯運算元是最簡單的各向同性微分運算元，它具有旋轉不變形。
對於二維影象f(x
,y)f(x,y)
f(x,y)
，二階微分最簡單的定義（拉普拉斯運算元定義）：
對於任意階微分運算元都是線性運算元，所以二階微分運算元和後面的一階微分運算元都可以用生成模版然後卷積的方式得出結果。
根據前面對二階微分的定義有：
根據上面的定義，與拉普拉斯運算元的定義相結合，我們可以得到：
也就是乙個點的拉普拉斯的運算元計算結果是上下左右的灰度和減去本身灰度的四倍。同樣，可以根據二階微分的不同定義，所有符號相反，也就是上式所有灰度值全加上負號，就是-1，-1，-1，-1，4。但是我們要注意，符號改變，銳化的時候與原圖的加或減應當相對變化。上面是四臨接的拉普拉斯運算元，將這個運算元旋轉45度後與原運算元相架，就變成了八鄰域的運算元了，也就是乙個畫素周圍一圈8個畫素的和與中間畫素8倍的差，作為拉普拉斯計算結果。
因為要強調影象中突變（細節），所以平滑灰度的區域，無響應，即模版係數的和為0，也是二階微分的必備條件。
最後的銳化公式：
其中，g是輸出，f為原始影象，c是係數，用來對細節新增的多少進行調節。
我們接下來用更加形象的影象來解釋拉普拉斯運算元的有效性。
在邊緣部分，畫素值出現」跳躍「或者較大的變化。下圖(a)中灰度值的」躍公升」表示邊緣的存在.如果使用一階微分求導我們可以更加清晰的看到邊緣」躍公升」的存在(這裡顯示為高峰值)圖(b)。
我們會發現在一階導數的極值位置，二階導數為0。所以我們也可以用這個特點來作為檢測影象邊緣的方法。但是， 二階導數的0值不僅僅出現在邊緣(它們也可能出現在無意義的位置),但是我們可以過濾掉這些點。
為了更適合於數字影象處理，我們如上面的式子所示，將其表示成了離散形式。為了更好的進行變成，我們也可以將其表示成模版的形式：
上圖（a）表示離散拉普阿拉斯運算元的模版，（b）表示其擴充套件模版，（c）則分別表示其他兩種拉普拉斯的實現模版。
從模版形式中容易看出，如果在影象中乙個較暗的區域**現了乙個亮點，那麼用拉普拉斯運算就會使這個亮點變得更亮。 因為影象中的邊緣就是那些灰度發生跳變的區域，所以拉普拉斯銳化模板在邊緣檢測中很有用。
一般增強技術對於陡峭的邊緣和緩慢變化的邊緣很難確定其邊緣線的位置。但此運算元卻可用二次微分正峰和負峰之間的過零點來確定，對孤立點或端點更為敏感，因此特別適用於以突出影象中的孤立點、孤立線或線端點為目的的場合。 同梯度運算元一樣，拉普拉斯運算元也會增強影象中的雜訊，有時用拉普拉斯運算元進行邊緣檢測時，可將影象先進行平滑處理。
影象銳化處理的作用是使灰度反差增強，從而使模糊影象變得更加清晰。 影象模糊的實質就是影象受到平均運算或積分運算，因此可以對影象進行逆運算，如微分運算能夠突出影象細節，使影象變得更為清晰。由於拉普拉斯是一種微分運算元，它的應用可增強影象中灰度突變的區域，減弱灰度的緩慢變化區域。因此，銳化處理可選擇拉普拉斯運算元對原影象進行處理，產生描述灰度突變的影象，再將拉普拉斯影象與原始影象疊加而產生銳化影象。
這種簡單的銳化方法既可以產生拉普拉斯銳化處理的效果，同時又能保留背景資訊，將原始影象疊加到拉普拉斯變換的處理結果中去，可以使影象中的各灰度值得到保留，使灰度突變處的對比度得到增強，最終結果是在保留影象背景的前提下，突現出影象中小的細節資訊。 但其缺點是對影象中的某些邊緣產生雙重響應。
最後我們來看看拉普拉斯運算元的效果：
拉普拉斯運算元 拉普拉斯方程之美
物理學有它自己的羅塞塔石碑。它們是連線宇宙間看上去不同的領域的天書，它們將任何物理學分支同純粹數學聯絡起來。拉普拉斯方程就是其中之一 它幾乎無處不在 在電磁學 在流體力學 在引力 在熱學 在肥皂泡 拉普拉斯方程是以法國數學家pierre simon laplace 皮埃爾 西蒙 拉普拉斯 的名字命名...
Laplace 拉普拉斯 運算元
摘要 原理 拉普拉斯運算元是二階微分線性運算元，在影象邊緣處理中，二階微分的邊緣定位能力更強，銳化效果更好，因此在進行影象邊緣處理時，直接採用二階微分運算元而不使用一階微分。離散函式的導數退化成了差分，一維一階差分公式和二階差分公式分別為 如圖2所示 圖2 一階微分和二階微分計算 分別對laplac...
邊緣檢測 Sobel 拉普拉斯運算元
邊緣 edge 是指影象區域性強度變化最顯著的部分。主要存在於目標與目標 目標與背景 區域與區域 包括不同色彩 之間，是影象分割 紋理特徵和形狀特徵等影象分析的重要基礎。影象強度的顯著變化可分為 影象的邊緣有方向和幅度兩個屬性,沿邊緣方向畫素變化平緩,垂直於邊緣方向畫素變化劇烈.邊緣上的這種變化可以...