梯度,散度,拉普拉斯運算元

說到mesh上的處理技巧，拉普拉斯絕對是關鍵的一環，比如su***ce smoothing, parameterization and shape modeling等等都是十分重要的。

人們常說的是，拉普拉斯運算元其實就是梯度的散度。

寫在前面

首先給出：純量（標量），向量

標量 -> 向量

想象一座山，山的每乙個點上都得到乙個向量（事實上在三維中，你可以隨意的定義方向向量），假設我們現在的向量指向每個點變化最陡的那個方向，而向量的大小（模）則代表了這個最陡的方向到底有多陡。梯度，眾所周知，是乙個向量。

向量 -> 標量

散度的作用物件是向量場，如果現在我們考慮任何乙個點(或者說這個點的周圍極小的一塊區域)，在這個點上，向量場的發散程度，如果是正的，代表這些向量場是往外散出的。如果是負的，代表這些向量場是往內集中的。

思考乙個點電荷激發的電場，任意選取乙個單位體積，若是單位體積不包含該電荷，那麼毫無疑問，有多少電場線進入就有多少電場線出，散度為0.但若選取的單位體積內包含了乙個正點電荷，則電場線只出不進，因而散度不為零。所以散度經常用來判斷是否存在場源。

因此如果我們在mesh的梯度上計算散度得到的就是拉普拉斯運算元。

直觀地，我們其實無論使用重心法還是local voronoi cell來作為乙個patch去考察拉普拉斯行為，我們其實就是在mesh上劃定了乙個小的區域，考察這個區域中mesh上梯度的變化情況。

比如我們可以對於tri-mesh推導出在引數空間中變數u下的cotangent拉普拉斯運算元：

他其實就是刻畫了，我們根據x

ix_i

xi鄰域建立的這個小藍色區域的視角下，mesh的梯度的散度。