微積分的本質 筆記 面積和斜率的聯絡

本節的內容從乙個實際且常用的問題引出——

「求乙個連續變數的平均值」。

在求解過程中我們去**如何通過積分將面積和斜率聯絡在一起。

也可以通過這個例子進一步理解積分運算和求導運算的互逆性。

①世界上種種週期現象都可以用正弦曲線來進行描述，例如：每天的日照時數就是乙個對應著日期的正弦函式。

②而如果我們想研究在夏季和冬季平均日照時數的差異，那麼就需要求這個正弦曲線在不同的半週期下的平均值。

①習慣的思維：我們通常是對一組離散的變數求平均值，通過用總和除以數量的方法得到平均值。

②但是對乙個連續的曲線的函式值求其平均，按照習慣的思維進行延伸，不難產生乙個直覺——將連續區間上無數多個值加起來，再除以無窮的總數。

③顯然，無論從操作的可行性還是計算的可行性來講，上述的方法都是行不通的。

但是，當我們產生了這樣的直覺，就相當於踏出了「使用積分」求解平均值的第一步。

先在一段區間內取上有限個點對應的函式值，得到乙個近似的平均值。

這裡的思維和我們**導數是一樣的，就是當取的微元越小，那麼近似的結果就會越精確。

在取值有意義的情況下，我們增加均勻取點的數目（也即縮小均勻取點的間隔），再來計算均值，得到的結果會更加逼近實際的連續變數的平均值。

①以幾何的觀點看積分

從幾何意義出發，不難推出求積分實質就是求曲線下的面積，這樣乙個過程。

那麼，從乙個更微觀的視角出發，其實是將曲線下的面積劃分成了若干下小矩形條。用矩形條面積的總和來近似整個面積，矩形條取得越細，計算的結果就越逼近實際的面積值。

②將求均值的過程也和dx聯絡起來

假設將一段連續值劃分成若干小段，每一段的間隔均取為dx，如下圖所示的例子：對於乙個區間長度為π的連續值，則一共可以取到(π/dx)個離散點。

按照一般的均值求解思維，用所有離散點的函式值之和除以離散點的數目就可以得到近似的連續值的均值。

按照上圖，對於計算進行變形，將dx移到分子上方，則上方就是對若干個sinxdx進行求和。當取的間隔dx越來越小的時候，分子的表示式就是對sinx曲線在0到π下的面積進行積分。

根據上文中的推導過程，對於連續值求平均值的過程轉化成了乙個分式——分子是關於連續值曲線的積分，其幾何意義就是曲線下的面積；分母就是區間的寬度。

綜上所述：影象的平均高度就是區域的面積除以寬度。

注意：上述結論其實也很符合直觀印象，可以從「量綱」的角度進行驗證：我們常說面積=高度*寬度；上述結論和這個直觀印象是相符合的。

對於上述這個結論的理解，就需要將微積分的幾何意義代入即可。

f(x)是導函式，其有相應的原函式f(x)。

那麼對於f(x)在某一指定區間進行積分再除以區間長度就相當於是對切線斜率在區間內求均值。

根據微積分基本定理，對於f(x)的積分可以轉換成原函式 f(x)在區間兩個端點處的函式值的差。

當你求解連續函式的平均值時，轉化為求解另乙個函式各點切線的平均斜率，在這個計算過程中，我可以僅僅考慮這個函式的起點和終點，而不需要去考慮中間點。

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