挺好的一本書，講了微積分的歷史，並且有很多乾貨，第一遍快速讀完，第二遍讀的過程順便做些筆記
介紹牛頓的成就一般會提到他建立了微積分和廣義二項展開，廣義二項展開式指展開次數不只是整數，而且可能是分數或負數。目前我們使用的二項展開形式很簡潔，牛頓當時的展開式是乙個複雜的遞迴表示式。同樣，對於三角函式如sinx的展開，牛頓採用的方式自然也不是泰勒展開，而是用一種幾何的方法，並採用他的逆級數技術匯出的。
與同時期的牛頓一樣，萊布尼茨關於微積分的推導還是主要採用幾何的方法，而且推導過程從現在看來有很多漏洞，比如求和和積分的順序問題，但是他們確實用他們的方式取得了自己的成果，比如萊布尼茨級數π4
=1−1
/3+1
/5−.
..魏爾斯特斯拉病態函式的說明用作者的話說，是這本書最複雜的，但是一步一步看下來也不難理解，看完作者說明的特例a=21和b=1/7以後，可以了解為什麼要求a>=3的奇數，ab>1+3pi/2
a>1
因為在hm的選擇過程中hm
=(1−
ϵm)/
am，這個值要趨於0，就必須a>1
a必須是奇數
因為165頁的4個觀察中的a，如果a是偶數，則這一項的值恆等於1，而不是根據αm
的值交叉正負號
ab>1+3pi/2
定理證明的關鍵是微商計算過程中k大於等於m的序列和的絕對值要大於k小於m的序列和的絕對值，這就要2/
3(ab
)m>π(
(ab)
m−1)
/(ab
−1))
。做一些處理就是上面的結果對於作者舉得例子a=21和b=1/3，就是(2/3-\pi/6)必須大於0
這一章說了很多違背直覺的東西：
牛頓萊布尼茨時候的微分積分主要考慮簡單的連續函式
黎曼積分可以應用於不連續的函式，甚至無限個不連續點的函式也有可能積分，例如黎曼函式，而且這個函式在所有有理數點不連續，在所有無理數點連續
連續的函式具有介值屬性
任意區間具有介值屬性 的函式不一定連續，例如s(x)
可微函式的導數不一定連續，例如u(x)
可微函式的導數具有介值屬性：達布定理
本書中間部分用到了很多數學分析知識，從這一章開始，反而需要的知識不太多，更多的是一些推理，反應了本書的科普書屬性。
這一章最重要的是實數的完備性，包括書中說的：
c1 任何有界非減序列收斂到某個實數
c2 任何柯西序列存在極限
c3 任何有上界的非空實數集有乙個上確界
c4 有界閉區間的遞減序列必定有同屬於所有區間的公共點
但是實數為什麼是完備的，以及如何從有理數構造實數，書中說太深奧了，所以沒具體說，可能也確實不好懂，只說了康托爾的實數繫結構是以有理數的柯西序列的等價類為基礎，戴德金的方法則採用把有理數分為不相交類的劃分。但是上面的c1-c4相對還是好懂的。其實實數模型還有魏爾斯特拉斯十進位制小數模型，個人感覺這個相對比較好懂
這一章主要說了2個內容，其中乙個沒有詳細說明，乙個詳細說明了。
沒有詳細說明的是微積分基本定理對函式導數的要求：是否導數有界即可（達布證明黎曼可積是可以的），沃爾泰拉給出乙個f函式反例說明不可以，不過書中沒有詳細說明。
詳細說明的是點態不連續函式相關的乙個定理：閉區間不可能同時存在兩個點態不連續函式，其中乙個的連續點是另乙個的不連續點，從而說明了不存在有理數點連續、無理數點不連續的函式
貝爾分類定理的證明用到了實數完備性，後面給出康托爾定理的證明雖然與11章不一樣，但是本質上是一樣的，都是利用遞減區間套。
221頁的證明還是不好懂的，裡面的概念點態不連續在202頁定義df
表示函式不連續點，必要條件的證明分2部，2部分要結合起來看，要不然不知道第一步證明有什麼用，第一步證明pk
為無處稠密集合，關鍵是找到乙個區間不包含pk
的點，第2部證明每乙個不連續點都屬於pk
。第二步證明首先書中翻譯有點問題，取z應該是滿足
0<|z
−x|<
δ ，並且|f
(z)−
f(x)
|≥ϵ 。由於x點不連續，所以必定存在乙個這樣的
ϵ ，也就可以找到對應的k滿足1/
k<
ϵ .
最後的貝爾的函式分類非常有意思，雖然作者沒有做出證明，證明過從肯定會比較複雜， 但是結論是簡單的例如其中的定理：f可微則必定f』點態連續
作為本書的結束，這一章介紹了勒貝格積分的用途，給出了很多定理，但是沒有證明，包括上一章說的是否存在屬於247類的函式，是否存在不屬於貝爾分類的函式。希望了解這些定理證明的，只能找本實分析的書去看了
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