欣小白的點滴矩陣分解

一.矩陣的乘法運算

例如：

注意：1.只有在下列情況下，兩個矩陣的乘法才有意義，或說乘法運算是可行的：左矩陣的列數＝右矩陣的行數。

2.在矩陣的乘法中，必須注意相乘的順序．即使在ab與ba均有意義時，也未必有ab=ba成立．可見矩陣乘法不滿**換律

矩陣的轉置：

二.介紹矩陣分解。

以使用者-專案評分矩陣為例，矩陣分解就是**出評分矩陣中的缺失值，然後根據**值以某種方式向使用者推薦。

經典案例

要做推薦系統，最基本的乙個資料就是，使用者-物品的評分矩陣

矩陣中，描述了5個使用者(u1,u2,u3,u4 ,u5)對4個物品(d1,d2,d3,d4)的評分(1-5分)，- 表示沒有評分，現在目的是把沒有評分的給**出來，然後按**的分數高低，給使用者進行推薦。如何**缺失的評分呢？對於缺失的評分，可以轉化為基於機器學習的回歸問題，也就是連續值的**，對於矩陣分解有如下式子，r是類似圖1的評分矩陣，假設nm維(n表示行數，m表示列數)，可以分解為p跟q矩陣，其中p矩陣維度nk，q矩陣維度k*m。

三.**示例。

```c
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
#矩陣分解函式
def matrix_decomposition
(r,p,q,n,m,k,alpha=
0.0002
,beta=
0.02):
q = q.t #q的轉置矩陣
loss_list =
#儲存每次迭代計算的loss值
for step in range
(5000):
#更新r^
for i in range
(n):
for j in range
(m):
if r[i]
[j]!=0:
#計算損失函式
error = r[i]
[j]for k in range
(k):
error -
= p[i]
[k]*q[k]
[j]                    #優化p,q矩陣的元素
for k in range
(k):
p[i]
[k]= p[i]
[k]+ alpha*(2
*error*q[k]
[j]-beta*p[i]
[k])
q[k]
[j]= q[k]
[j]+ alpha*(2
*error*p[i]
[k]-beta*q[k]
[j])
loss =
0.0        #計算每一次迭代後的loss大小，就是原來r矩陣裡面每個非缺失值跟**值的平方損失
for i in range
(n):
for j in range
(m):
if r[i]
[j]!=0:
#計算loss公式加號的左邊
data =
0for k in range
(k):
data = data + p[i]
[k]*q[k]
[j]                    loss = loss + math.
pow(r[i]
[j]-data,2)
#得到完整loss值
for k in range
(k):
loss = loss + beta/2*
(p[i]
[k]*p[i]
[k]+q[k]
[j]*q[k]
[j])
loss_list.
(loss)
plt.
scatter
(step,loss)
#輸出loss值
if(step+1)
%1000==0
:print
("loss="
.format
(loss)
)        #判斷
if loss <
0.001
:print
(loss)
break
plt.
show()
return p,q
if __name__ ==
"__main__"
:    n =
5    m =
4    k =
5#我們給定k的值為5
r = np.
array([
[5,3
,0,1
],[4
,0,0
,1],
[1,1
,0,5
],[1
,0,0
,4],
[0,1
,5,4
]]) #n=
5,m=
4print
("初始評分矩陣："
)print
(r)    #定義p和q矩陣
p = np.random.
rand
(n,k) #n=
5,k=
2    q = np.random.
rand
(m,k) #m=
4,k=
2print
("開始矩陣分解："
)    p,q =
matrix_decomposition
(r,p,q,n,m,k)
print
("矩陣分解結束。"
)print
("得到的**矩陣："
)print
(np.
dot(p,q)
)

結果顯示：

四.矩陣演算法的優缺點。

優點：將高維的矩陣對映成兩個低維矩陣的乘積，解決了資料稀疏的問題；

**的精度較高，高於基於領域的協同過濾以及基於內容等方法。

缺點：推薦結果無法解釋，其隱空間中的維度無法與現實中的概念對應起來；

模型訓練比較費時，比如只能天粒度離線訓練。

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