1. qr分解(ur分解):
這是最基礎的分解.
定理1: 設滿秩方程a∈r(n x n), 則存在正交矩陣q及正線(主對角線上元為正)上三角陣r,滿足 a = qr, 且分解唯一.
構造性證明: 將a的n個列向量正交化(斯密特正交化)為y1,y2...yn, 然後標準化為z1,z2...zn, 則q即為, r為: rii = ||yi|| , rij = (xj, zi) (i≥j).
有效性代入計算即可證明. 唯一性證明思路: 設a=q1r1 = q2r2, 右乘r1的逆, 然後利用q1為正交矩陣證明r1=r2從而q1=q2.
-當a為酉空間,有相似定理,將q換成酉矩陣u.
-當a為列滿秩的高陣,也有類似定理. (行滿秩的矮陣應該也有,計算標準正交q的時候用行向量計算,相應的r也要換.)
-qr分解可用於方程ax=b求解.當a是滿秩方陣,則解唯一; 當ax=b不相容,則由rx=q^t b得到的解是最小二乘解. 證明可直接寫出最小二乘定義得到.
2. 正規矩陣及schur分解:
對任意方陣a都存在可逆矩陣p,使p^-1 a p 為乙個上三角矩陣. (由歸納法證)
將p作qr分解,則可以得到schur分解: 任意方陣a存在正交矩陣q(u)使 q^t a q 為一上三角陣,且對角元為a的特徵值. (相應酉空間為 u陣和u^h. ^h即共軛轉置). (證明要點是這裡的q就是p分解中的q, q^t a q = q^t pkp^-1 q,再分解.)
正規矩陣: 設a∈c(n x n), 若a滿足 a^h a = a a^h,則稱a為正規矩陣(規範陣). 實對稱陣,實反對稱陣,hermite陣,反hermite陣,正交陣,酉陣都是正規矩陣. 正規陣是單純矩陣.
正規陣 等價於 a酉相似於乙個對角陣 等價於 a有n個特徵向量構成一組n維標準正交基.
推論1: a為實對稱陣 等價於 a的特徵值全為實數且存在正交陣q使得q^t a q=diag 其中λi為a的特徵值.
推論2: a為正交矩陣 等價於 a的每個特徵值的模為1,且存在酉陣u使得 u^h a u=diag 其中
λi為a的特徵值.
求解q(u)的過程也就是求解特徵值和特徵向量的過程,然後標準正交化即得到. 注意特徵值和特徵向量的順序.
3. 滿秩分解:
設a∈c, 是mxn的矩陣,秩為r(r>0), 則存在列滿秩矩陣f(mxr)和行滿秩矩陣g(rxn)使得a=fg.滿秩分解不唯一.
求法很簡單:
把a化成前r行非零,後m-r行為零的矩陣,且前r行中i行
(i=1,2,..r)
第乙個元素為1,第乙個元素之前的0元素比i-1行多,則這個矩陣前r行構成g; 然後配出f即可.
4. 奇異值分解(svd)
奇異值分解很重要.
引理: 任意a∈c, a^h a和a a^h都是半正定的厄公尺特(hermite)矩陣,且具有相同的非零特徵值,且秩和a相同. 秩相同的證明可以用虧加秩定理,也可以用方程組同解證, 也可以寫成行列內積證. 半正定的證明可任取x∈c, 根據內積定義可證 ( x^h a^h a x = (ax)^h (ax) = (ax, ax)≥0 ).
奇異值:a^h a的n個特徵值λ1,λ2,..λn 其中前r個大於零. 則a的奇異值σ1,σ2,..σr, σr+1,..σn
為σ1² = λ1,
σ2² = λ2, ...σr² = λr .且σi>0(i=1,2...r) 剩下的σi=0 (i=r+1,r+2,..n).
那麼存在酉矩陣v和u,使得a = v s u^h. 其中s = diag. 記sr = diag.
構造性證明過程要利用前面的知識. a^h a是半正定的厄公尺特陣,所以可以進行schur分解: u^h a^h a u=diag = s², s中的sr可逆,剩下的都是零,所以我們把u也拆成前r個列向量組成的u1和剩下的組成的u2, 則u1^h a^h
a u1 = sr². 把sr的逆分別左乘右乘,則等式右邊變成i, 左邊為: sr^-1 u1^h
a^ha u1 sr^-1 . 記v1 = a u1 sr^-1, 則有v1^h v1= i. 所以v1是酉陣. 用n(a^h)的一組標準正交基把v1補全成標準正交陣v, 則有 v s u^-1=
a, 也就是a = v s u^h.
求奇異值分解跟上面證明過程一樣:
求a^h a的特徵值, 並求其n個標準正交特徵向量得到u, 順帶求出a的奇異值和s.
由正特徵值的r個特徵向量得到u1.
根據v1 = a u1 sr^-1求得v1, 將其補充成適當的標準正交陣v(可以直接補,補出來就是n(a^h)的基,不過要標準正交). 大功告成. 要記住最後 a = v su^h.
-由svd可得極分解,即對方陣a存在半正定的厄公尺特陣g和酉陣u使a = gu, 當a滿秩g為正定厄公尺特陣.
5. 單純矩陣(可對角化矩陣)的譜分解
冪等陣即方陣a 滿足a²=a. (冪等陣與投影變換是一一對應的)
對方陣a: 設a有k個相異的特徵值,則a為單純矩陣 等價於 存在k個冪等陣g1,g2,..gk使得:
gigj=0(i≠j);
σ(i=1,k) gi = i;
a =
σ(i=1,k)
λigi .
譜分解唯一. 唯一性證明:先利用λ證明gifj=0(i≠j) (要點:利用agifj = giafj),然後就能證明gi=fi了.
構造性證明:
求出a的相異特徵值
λ1,λ2,..λk;
求出相應的特徵向量組成基向量陣 x1,x2,..xk;
令x = (x1,x2,..xk), 令 y = x^-1, 對y按照x行分塊得到(y1,y2,..yk)^t
則gi = xiyi.
推論: 若f(λ)為任意多項式,則f(a) = f(λ1)g1 + f(λ2)g2 + ... + f(λk)gk. 特別地:a^m = (σλg)^m .
矩陣第二章總結筆記
第二章 目標 學習向量範數 矩陣範數 運算元範數的概念 性質與計算 一 向量範數 向量範數 判定條件 正定性 齊次性 三角不等式 兩邊之和大於第三邊 性 質 0範數為 0 三角不等式 兩邊之差小於第三邊 holder範數，也即 p範數 p 1 p 範數包括向量 1範數 向量 2範數 向量無窮範數 h...
matlab學習筆記第二章 矩陣
1.我們可以在陣列上進行左除和右除。這時陣列元素與元素匹配相除，因此兩陣列必須等大。例如，我們用 讓matlab進行陣列右除 a 2 4 6 8 b 2 2 3 1 c a b c 1 2 2 8 2.要建立n n的單位矩陣，輸入matlab命令 eye n 要建立n n的零矩陣，我們輸入zeros...
概率論 第二章
2.1 隨機變數及其分布函式 一 隨機變數 二 分布函式 例1 拋一枚硬幣,觀察正面 1,反面 2出 現的情況 隨機變數常用x y 或 等表示 定義了隨機變數後,就可以用隨機變數的取值情況來刻劃隨機事件 有了隨機變數,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變數的關係式表達出來.二 分布函式 對隨機變數...