。對於矩陣為高維的情況下，這個變換就對應著很多方向的變化，我們−1
at=b
t−1at=b
則稱a與b相似，記作a～b，從a到b的這種變化稱為相似變換，t稱為相似變換矩陣。
矩陣的相似關係是一種等價關係（並不是相等），相似矩陣滿足以下特性
對稱性：若a～b，則b～a
傳遞性：若a～b，b～a，則a～c
條件：所有的方陣都可以進行特徵值分解得到對應的特徵值與特徵向量；只有當方陣的幾何重數與代數重數相等（方陣的最小多項式無重根）時，方陣才可以實現對角化
結果：通過特徵值分解得到的特徵向量與特徵值可以構成對角標準型與jordan標準型（前者是後者的特例），其中jordan標準型不是對角矩陣；而相似對角化得到的矩陣一定是對角矩陣
使用qr分解解決最小二乘法
qr分解在引數估計中的應用
qr分解在通訊系統中的應用
簡化pca演算法用於人臉識別uϵ
fn×m
uϵfn×m
,如果 uh
u=iuhu=i
(h為共軛轉置
)我們便稱
u為乙個等距(isometry)，它的所有列向量是正交的。等距作為乙個線性變換時是保內積運算，同時也是保模長運算，即 ux
,uy>=
y>=u
x∥=,u
y>1/
2=y>1/
2=∥x
∥ϵfn
×muϵfn×m
,如果 uuh
=iuuh=i
我們便稱 u
為乙個協等距(isometry),它的所有的行向量是正交的。−1
=uhu−1=uh
。酉矩陣其實是正交矩陣在複數域上的推廣，它滿足 uh
=uhu
=ii=
λi−−
√。於是可以通過求解原矩陣的轉置與其自身相乘得到的矩陣的特徵值，再對該特徵值求平方根的方法求得矩陣的奇異值
高維度的矩陣的奇異值的計算是乙個難題，是乙個o(n^3)的演算法，隨著規模的增長，計算的複雜度會呈現出3次方的擴大，感興趣的朋友可以看這裡
在奇異值分解中，有乙個十分重要的推論，那就是在式a=
uλvt
裡，u的列向量為aat
的特徵向量，v的列向量為ata
的特徵向量。知道這一推論，我們在計算出特徵值之後就可以較為方便的求出矩陣的特徵向量
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[8] bhushan datta k. linear system theory and design, by chi‐tsong chen, oxford university press, new york, 1999, 334 pages, isbn 0‐19‐511777‐8[j]. international journal of robust & nonlinear control, 2015, 10(15):1360-1362.
相似對角化部分
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qr分解部分
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schur分解部分
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奇異值分解部分
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矩陣的分解
matlab中有這個恒等式 a triu a,1 tril a,1 diag diag a 將矩陣分解為乙個上三角陣 下三角陣和乙個對角陣。測試如下 format compact a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u triu a,1 u 0 2 3 0...
矩陣分解 Cholesky分解
矩陣分解是將矩陣拆解為數個矩陣的乘積，可分為三角分解 滿秩分解 qr分解 jordan分解和svd 奇異值 分解等。cholesky分解法是求解對稱正定線性方程組最常用的方法之一。可採用如下命令 r chol a 產生乙個上三角陣r，使r r a。若a為非對稱正定，則輸出乙個出錯資訊。r,p cho...
矩陣的Crout分解
本函式將乙個滿秩方陣按crout方式分解 function l,u crout a b size a b 1 行 b 2 列 n b 1 這裡只處理n n的非奇異矩陣 錯誤檢查 if b 1 b 2 非方陣錯誤 error matlab crout input matrix should be a ...