矩陣的lu分解目的是將乙個非奇異矩陣
比如 現在主要的問題是如何由矩陣
計算得到矩陣
和 呢？我們將在下面詳細討論。
首先從矩陣
入手，因為它是乙個上三角矩陣，所以很容易想到高斯消元法，依次把矩陣
主對角線左下角的元素消為
就得到
了。然後計算矩陣
，這裡有個技巧，可以這樣想，正是因為有了
，所以
的左下部分才能被消為
，所以我們記錄一下把
的左下部分消為
時矩陣
每行所乘的倍數，這個減去的倍數便是
左下元素的值！
在運算過程中左下相應元素減去的倍數(上面紅色的數字)便是矩陣$l$左下角的元素，可以得到：
其中n為方陣的行或列長度，可以看出先計算矩陣
的第一行，再計算矩陣
的第一列，再計算矩陣
的第二行，再計算矩陣
的第二列，依此類推。
clc,clear all,close all
% 矩陣的lu分解
%% 自己實現
a = [1 2 4;3 7 2;2 3 3]
[n,n] = size(a);
l = eye(n,n); % l初始化為單位矩陣
u = zeros(n,n); % u初始化為零矩陣
for i = 1 : n % 根據計算公式實現
for j = i : n
u(i,j) = a(i,j) - sum(l(i,1 : i - 1) .* u(1 : i - 1,j)');
endfor x = i + 1 : n
l(x,i) = (a(x,i) - sum(l(x,1 : i - 1) .* u(1 : i - 1,i)')) ./ u(i,i);
endendl
u%% 內建函式實現
[l1,u1] = lu(a)
#include #include using namespace std;
int main()
,, };
int n = a.size();
vector> u(n, vector(n));
vector> l(n, vector(n));
for (int i = 0; i < n; i++) //初始化矩陣l和矩陣u
for (int j = 0; j < n; j++)
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int x = i + 1; x < n; x++)
}cout << "a:" << endl; //輸出矩陣a
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << endl;
}cout << "l:" << endl; //輸出矩陣l
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << endl;
}cout << "u:" << endl; //輸出矩陣u
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << endl;
}return 0;
}
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