最近接觸到四旋翼無人機的位置控制方法，就又了解了一下四旋翼飛機的數學模型，現總結如下：
位置環 （均定義在慣性座標系下）
p ˙e
=ve(1)
\dot_ = v_ \tag
p˙e=v
e(1)v˙
e=−g
+fmr
bee3
(2)\dot_ = -g + \frac f m r_ ^ e_ \tag
v˙e=−
g+mf
rbe
e3
(2)這裡需要說明一點，對於方程(2)中reb
r_^re
b表示從慣性座標系到機體座標系的選擇矩陣。我們在使用過程中採用姿態的四元數來進行表達。
注：參照全權老師的課程，四元數和旋轉矩陣具有等價的表達，即都可以用來表示旋轉。對於向量的旋轉和座標軸的旋轉，正好是乙個相反的過程。我是這麼理解的，對於四元數轉換成的旋轉矩陣，可以表達成由慣性系下的某乙個向量旋轉到現在的狀態，也可以表達成機體座標系到慣性座標系的旋轉。
對於方程(2)，也可以將其轉換在機體座標系下進行表達，這個地方用到乙個知識點。firstly, let』s introduce the derivative for the rotation(對於乙個旋轉矩陣求導的問題)。
d re
dt=ω
e×re
(3)\frac } = \omega^ \times r^ \tag
dtdre
=ωe×
re(3)ωe
=rbe
ωb(4)\omega^ = r_^ \omega^\tag
ωe=rbe
ωb(
4)hence,
d rb
edt=
ωe×r
be=r
beωb
×rbe
=rbe
(ωb×
i)\frac ^} = \omega^e \times r_^ = r_^\omega^\times r_^ = r_^(\omega^\times i)
dtdrbe
=ω
e×rb
e=r
beω
b×rb
e=r
be(
ωb×i
)for the kenetic equation in the body-frame, we consider the following equation:
d ve
dt=d
rbev
bdt=
rbe˙
vb+r
bev˙
b\frac } = \frac ^v_} = \dot^}v_+ r_^\dot_
dtdve
=dt
drbe
vb
=rb
e˙
vb+
rbe
v˙b
姿態環（均定義在機體座標系下)
the dynamic equation in the body-frame is as follows:
j ω˙
b=−ω
b×(j
ωb)+
ga+τ
j \dot^ = -\omega^\times(j\omega^)+g_+\tau
jω˙b=−
ωb×(
jωb)
+ga
+τ注：我們測的角速度是在機體座標系下。
四元數的求導（公式編輯有點麻煩，手寫插入）
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