矩陣的基變換及對應基變換下向量的座標變換

假設在世界座標系中有兩組基分別是e

1e_1

e1​和e

2e_2

e2​，兩組基上分別有乙個向量x

xx和y

yy。那麼：

對x

xx向量進行一次a

aa變換得到向量z

zz，再對y

yy向量進行一次b

bb變換得到同樣得到向量zzz。

根據以上描述便得到：

x ⋅a

=z=y

⋅b

x\cdot a=z= y\cdot b

x⋅a=z=

y⋅b將變換單獨提出來表示：

x ⟶a

z⟵by

x\stackrel z \stackrel y

x⟶a​z⟵

b​y如果要讓向量x

xx變換為向量y

yy，那麼從上面的過程可以看出來只需要進行如下操作：

x ⟶a

z⟶b−

1y

x\stackrelz \stackrel} y

x⟶a​z⟶

b−1​

y對應的矩陣操作就是：

x ⋅a

⋅b−1

=y

x\cdot a\cdot b^ = y

x⋅a⋅b−

1=y令a⋅b

−1=c

a\cdot b^ = c

a⋅b−1=

c, 則x⋅c

=y

x\cdot c = y

x⋅c=

y，表示如下：

x ⟶c

yx \stackrel y

x⟶c​

y上面的意義就在於用一次變換c

cc表示了兩次變換a⋅b

−1

a \cdot b^

a⋅b−1。

綜合以上表述得到如下兩個式子：

a=c\cdot b \\x=y\cdot c^ \end

{a=c⋅b

x=y⋅

c−1​

上式中a

aa與b

bb之間的變換便是e

1e_1

e1​和e

2e_2

e2​的基變換，而向量x

xx與向量y

yy之間的變換可以看出是在基變換下向量的座標變換。

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