學習筆記
學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌 》-張天蓉；
我們在前幾個blog中介紹了邏輯斯蒂系統。我們知道邏輯斯蒂系統是描述生態繁衍的，如果最後的群體數趨向乙個固定值，叫做週期1；如果最後群體數在兩個固定值之間跳來跳去，就叫週期2；如果最後群體數在3個值之間跳，就叫週期3了。
我們馬上要介紹的就是約克教授和週期3的故事
約克是乙個頗有個性的數學家，2023年約克教授得到了洛倫茨關於蝴蝶效應的幾篇**，並對此十分感興趣。約克在研究洛倫茨那三個微分方程時，以乙個數學家敏銳的直覺，猜測如果乙個連續函式有乙個週期為3的點，這個函式的長期行為就將會十分奇特。約克把這個想法告訴了他的學生李天巖，並鼓動他證明這個猜想。大約在兩個星期後，李天巖完成了這個後來叫做李-約克定理的全部證明，並發表了名為《週期3意味著混沌》的**。**的第一部分證明了，如果乙個系統出現了「週期3」，那麼就會出現任何正整數的週期，系統便一定會走向混沌。或者說，系統有3週期點，就有一切週期點！**的第二部分揭示了結果關於初始值的敏感依賴性，以及由此而導致的不可**性，那正是混沌的本質。
那麼，為什麼是3呢？
週期3即混沌，正好應驗了老子說的「一生二，二生三，三生萬物」嗎？老子並不是線性地遞推過去：「一生二，二生三，三生四，四生五……」，而是數到三，事情就轉了彎。這個「三」，似乎是線性到非線性的轉折點。
混沌現象是非線性系統的特徵，有限維的線性系統不會生出混沌魔鬼，但無限維的線性系統有可能產生混沌。自然界中更多的是非線性系統，自然現象就其本質來說，是複雜而非線性的，因此，混沌現象才是大自然中常見的普遍現象。
非線性科學不僅研究從有序到混沌的轉換，也對從無序中如何產生有序感興趣，因為這個問題關係到生命的產生和進化。
在談如何從無序中產生有序的問題之前，我們先了解一下熵這個概念
"熵"聽起來，讓人望而生畏，其實沒什麼高深的。通俗地說，我們用熵的大小，來測量由大量粒子（原子、分子）構成的系統的紊亂程度。熵是乙個系統混亂程度、或稱無組織程度的度量。克勞修斯之後的統計物理學家玻爾茲曼又把熵和資訊聯絡起來，提出熵是乙個系統失去了的資訊的度量，這個說法有道理，次序不就是某種資訊嗎，有序變無序，失去了次序，也就失去了一部分資訊。
總之，系統越混亂，熵就越大；系統越有序，熵就越小。熱力學第二定律，也被稱為熵增加原理，說的就是乙個孤立封閉系統的熵總是增加（永不減少）的，即系統總是由有序過渡到無序，這種過程不可逆地進行著。我們觀察到的大量物理現象，都是混亂度增加的不可逆過程，比如：結晶的冰塊放到熱水中，逐漸融化，有序的結晶變成無序，使得熵增加；一滴紅墨水滴到一杯清水中，墨水顆粒自動擴散到水中，水變成更為無序的淡紅色溶液.事物從有序過渡到無序，相反的過程貌似不會發生。
這時，我們可能會產生疑問，我們的生物進化，是從低階到高階, 世界從無序到有序，這貌似不符合熵增加原理
熱力學第二定律所表明的演化方向的確與達爾文生物演化論所言的演化方向相反，生物學與理論物理之間存在著巨大的鴻溝。當然，熱力學第二定律只能被用於封閉系統，而不應該被無限擴充套件應用到諸如生物體這樣的開放系統。但是，從封閉系統的熵增加，如何變成了開放系統的熵減少？
此時，比利時物理化學家普里戈金登上了歷史舞台。他研究非平衡態的熱力學，並建立耗散結構理論，研究自組織現象，企圖填補理論物理與現代生物學之間的鴻溝。
啥是自組織現象呢？
在一定條件下，乙個開放系統可以由無序變為有序，開放系統能夠從外界獲得負熵，而使得熵值減少。這時，系統中的大量分子、原子，會自動地按一定的規律運動，有序地組織起來。我們將這種現象，叫做自組織現象。
普里戈金認為，形成自組織現象的條件包括：
①系統必須開放，是耗散結構系統；
②遠離平衡態，才有可能進入非線性區；
③系統中各部分之間存在非線性相互作用；
④系統的某些參量存在漲落，漲落變化到一定的閾值時，穩態成為不穩定，系統發生突變，便可能呈現出某種高度有序的狀態。
由於在自組織現象中，系統呈現高度的組織性，這就為從物理理論的角度解釋生命的形成提供了可能。
後記：該系列暫時完結，感覺作為本系列的最後一篇blog，很多問題沒講清除…嗯，繼續加油
混沌分形之謝爾賓斯基（Sierpinski）
本文以使用混沌方法生成若干種謝爾賓斯基相關的分形圖形。1 謝爾賓斯基三角形 給三角形的3個頂點，和乙個當前點，然後以以下的方式進行迭代處理 a.隨機選擇三角形的某乙個頂點，計算出它與當前點的中點位置 b.將計算出的中點做為當前點，再重新執行操作a class sierpinski public fr...
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讀研時，做的研究是fmri的非線性雜訊處理。那個時候，比較傻，線性是流行的趨勢和方法，做一做就成了，肯定能混畢業。非要去弄什麼非線性雜訊處理。導師自然是喜歡，看學生玩玩，自己也能從中撈一點兒。不過，雜七雜八的東西看了一堆堆。geb，去年羅胖大力推李善友的 理論，如果他讀過了侯士達的geb，那麼牛逼就...