數論 開燈關燈問題

題目描述

現在有 n 盞燈，每盞燈有乙個開關，編號從 1~n。

如果燈是關著的，摁一次開關就會開啟。

如果燈是開著的，摁一次開關就會關閉。

目前所有燈都是關閉的。

現在有 n 個人，每個人都有乙個編號，分別為 1 ~ n。

n 個人輪流摁下自己編號的倍數號碼的開關。

問最後還有多少盞燈是亮著的。

輸入

第一行輸入 乙個 t。

接下來 t 行，每行乙個數字 n，表示有 n 盞燈。

(0 < t < 100，0 < n < 264)

輸出

每組樣例輸出乙個數字，表示最後亮著的燈的個數。

例如

這個問題有乙個數學上的解決方法。可以看出，被按了奇數次的燈泡應該是亮著的，被按了偶數次的燈泡應該是滅的。那麼什麼樣的燈泡被按了奇數次？什麼樣的燈泡又被按了偶數次呢？從按的過程可以發現，如果乙個燈泡的編號具有偶數個因子，那麼該燈泡就被按了偶數次，反之按了奇數次。現在的問題又變成，什麼樣的編號具有奇數個因子，什麼樣的編號具有偶數個因子？這涉及到乙個叫做質因數分解的定理，大概的意思是說，任何正數都能被唯一表示成多個質因數冪次乘積的方式。

例如:

14=2×7

50=2×5^2

…100=2^2× 5^2

那麼什麼條件下滿足factornumber(n)是奇數呢？顯然必須所有的e[1],e[2],…,e[k]都必須是偶數，這樣才能保證e[i]+1是奇數，結果乘積才能是奇數。而由於e[1],e[2],…,e[k]都是偶數,那麼n一定是乙個完全平方數(因為sqrt(n)=(p[1]^(e[1]/2))× (p[2]^(e[2]/2)) ×… ×(p[k]^(e[k]/2))是整數) 。

可以知道，就是求1-n中有多少個完全平方數。所以只需要簡單的開根號，就可以得到結果。

#include

using
namespace std;
typedef
long
long ll;
//給我開燈
intmain()
return0;
}

開燈關燈問題

題目 大廳裡有100盞燈，每盞燈都編了號碼，分別為1 100。每盞燈由乙個開關來控制。開關按一下，燈亮，再按一下燈滅。開關的編號與被控制的燈相同。開始時，燈是全滅的。現在按照以下規則按動開關。第一次，將所有的燈點亮。第二次，將所有2的倍數的開關按一下。第三次，將所有3的倍數的開關按一下。以此類推。第...

開燈關燈問題

有編號1 100個燈泡，起初所有的燈都是滅的。有100個同學來按燈泡開關，如果燈是亮的，那麼按過開關之後，燈會滅掉。如果燈是滅的，按過開關之後燈會亮。現在開始按開關。第1個同學，把所有的燈泡開關都按一次 按開關燈的編號 1,2,3,100 第2個同學，隔乙個燈按一次 按開關燈的編號 2,4,6,10...

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