開燈關燈問題

有編號1~100個燈泡，起初所有的燈都是滅的。有100個同學來按燈泡開關，如果燈是亮的，那麼按過開關之後，燈會滅掉。如果燈是滅的，按過開關之後燈會亮。

現在開始按開關。

第1個同學，把所有的燈泡開關都按一次(按開關燈的編號： 1,2,3,......100)。

第2個同學，隔乙個燈按一次(按開關燈的編號： 2,4,6,......,100)。

第3個同學，隔兩個燈按一次(按開關燈的編號： 3,6,9,......,99)。

......

問題是，在第100個同學按過之後，有多少盞燈是亮著的？

這個問題有乙個數學上的解決方法。可以看出，被按了奇數次的燈泡應該是亮著的，被按了偶數次的燈泡應該是滅的。那麼什麼樣的燈泡被按了奇數次？什麼樣的燈泡又被按了偶數次呢？從按的過程可以發現，如果乙個燈泡的編號具有偶數個因子，那麼該燈泡就被按了偶數次，反之按了奇數次。現在的問題又變成，什麼樣的編號具有奇數個因子，什麼樣的編號具有偶數個因子？這涉及到乙個叫做質因數分解的定理，大概的意思是說，任何正數都能被唯一表示成多個質因數冪次乘積的方式。

例如:14=2*7

50=2*5^2

...100=2^2*5^2

也就是n=(p[1]^e[1])*(p[2]^e[2])*......*(p[k]^e[k])，其中p[i]是質數，e[i]是p[i]的冪次。而由這個公式我們又可以匯出乙個數有多少個因子的計算公式:factornumber(n)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)。

那麼什麼條件下滿足factornumber(n)是奇數呢？顯然必須所有的e[1],e[2],......,e[k]都必須是偶數，這樣才能保證e[i]+1是奇數，結果乘積才能是奇數。而由於e[1],e[2],......,e[k]都是偶數,那麼n一定是乙個完全平方數(因為sqrt(n)=(p[1]^(e[1]/2))*(p[2]^(e[2]/2))*......*(p[k]^(e[k]/2))是整數) 。回到按燈泡的問題上來，1~100中完全平方數有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100這10個數，也就是說最後只有編號為這10個數的燈是亮著的。

這裡解釋一下 factornumber(n)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)。為什麼f(n)等於所有的e(i)+1 相乘，

對n進行質因數分解。不失一般性，假設n=x^a * y^b * z^c * ……. x^a表示x的a次冪。那麼n的約數相當於x取（0次冪，1次冪，……，a次冪），y取（0次冪，1次冪，……，b次冪），z取（0次冪，1次冪，……，c次冪），……。其約數的個數等於(a+1)*(b+1)*(c+1)*……。當所有的指數都為0是，約數為1，當所有的指數取最大時，為n本身。

若想使約數的個數為奇數，則a，b，c，……必須均為偶數，也就是說n必須是完全平方數。

20 = 1*2^2*5^1；

20 = 1*20=2*10=4*5都是成對出現的，20的約束的個數= 3(2的指數+1) *2(5的指數+) = 6

36 = 1*36=2*18=3*12=4*9=6*6 完全平方數不是成對出現的，而是有單數出現。

~正如一樓所言，這個題就是考察1~100每個數字的因子數的奇偶性。有奇數個因數的燈狀態和初始狀態相異，反之，因數是偶數個的，燈的狀態不變。舉兩個例子：2號燈有1和2兩個因數（2=12），所以開關兩次，等狀態不變；4號燈有1、2、4三個因數，（4=14=22）按三次，和初始狀態不同，即一開始燈是滅著的，按完三次燈就亮了。

為什麼舉這兩個例子呢？是有道理的，呵呵。我們注意到，每個數字的因數都是成對出現的，比如每個數字都至少有1和它本身（1是特例，1就是它本身）兩個因數，再比如36的因數1和36，2和18，3和12，4和9，都是成對出現的。所以，當且僅當，某個數字中成對出現的兩個因數相同時，（比如上面的例子4有22這對因子），即這個數字可以被開方是整數時，它的因子個數才會變為奇數。

所以可以有下面的結論，開方結果是整數的數（燈），最後是亮的，也就是說號碼為1的平方、2的平方、3的平方……10的平方的燈，即號碼為1、4、9、16、25、36、49、64、81、100的燈，這10展燈是亮的。

開燈關燈問題

開燈關燈問題

開燈關燈問題

開燈關燈問題

相關推薦