有編號1~100個燈泡，起初所有的燈都是滅的。有100個同學來按燈泡開關，如果燈是亮的，那麼按過開關之後，燈會滅掉。如果燈是滅的，按過開關之後燈會亮。
現在開始按開關。
第1個同學，把所有的燈泡開關都按一次(按開關燈的編號： 1,2,3,......100)。
第2個同學，隔乙個燈按一次(按開關燈的編號： 2,4,6,......,100)。
第3個同學，隔兩個燈按一次(按開關燈的編號： 3,6,9,......,99)。
......
問題是，在第100個同學按過之後，有多少盞燈是亮著的？
這個問題有乙個數學上的解決方法。可以看出，被按了奇數次的燈泡應該是亮著的，被按了偶數次的燈泡應該是滅的。那麼什麼樣的燈泡被按了奇數次？什麼樣的燈泡又被按了偶數次呢？從按的過程可以發現，如果乙個燈泡的編號具有偶數個因子，那麼該燈泡就被按了偶數次，反之按了奇數次。現在的問題又變成，什麼樣的編號具有奇數個因子，什麼樣的編號具有偶數個因子？這涉及到乙個叫做質因數分解的定理，大概的意思是說，任何正數都能被唯一表示成多個質因數冪次乘積的方式。
例如:
14=2*7
50=2*5^2
...100=2^2*5^2
也就是n=(p[1]^e[1])*(p[2]^e[2])*......*(p[k]^e[k])，其中p[i]是質數，e[i]是p[i]的冪次。而由這個公式我們又可以匯出乙個數有多少個因子的計算公式:factornumber(n)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)。
那麼什麼條件下滿足factornumber(n)是奇數呢？顯然必須所有的e[1],e[2],......,e[k]都必須是偶數，這樣才能保證e[i]+1是奇數，結果乘積才能是奇數。而由於e[1],e[2],......,e[k]都是偶數,那麼n一定是乙個完全平方數(因為sqrt(n)=(p[1]^(e[1]/2))*(p[2]^(e[2]/2))*......*(p[k]^(e[k]/2))是整數) 。回到按燈泡的問題上來，1~100中完全平方數有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100這10個數，也就是說最後只有編號為這10個數的燈是亮著的。
開燈關燈問題
題目 大廳裡有100盞燈，每盞燈都編了號碼，分別為1 100。每盞燈由乙個開關來控制。開關按一下，燈亮，再按一下燈滅。開關的編號與被控制的燈相同。開始時，燈是全滅的。現在按照以下規則按動開關。第一次，將所有的燈點亮。第二次，將所有2的倍數的開關按一下。第三次，將所有3的倍數的開關按一下。以此類推。第...
開燈關燈問題
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開燈關燈問題
有編號1 100個燈泡，起初所有的燈都是滅的。有100個同學來按燈泡開關，如果燈是亮的，那麼按過開關之後，燈會滅掉。如果燈是滅的，按過開關之後燈會亮。現在開始按開關。第1個同學，把所有的燈泡開關都按一次 按開關燈的編號 1,2,3,100 第2個同學，隔乙個燈按一次 按開關燈的編號 2,4,6,10...