在說之前，我們先把如下幾個問題想清楚：
1. 究竟什麼是影象的空間結構資訊？
2. 為什麼在引數向量w（m*n維）上施加平滑約束，就代表著對影象空間結構資訊的利用？
3. 對於引數向量w，什麼叫做平滑？怎麼度量呢？
這也是我最初很迷惑的地方，後來通過閱讀相關文獻，可能是想明白了，下面是我給出的答案。
1. 我們想想看一副影象，所謂空間資訊，我的理解，影象一點的畫素和它周圍的畫素的值之間的「大小關係」，就是空間結構資訊，如果在低維空間中這種「大小關係」也能夠保持，那麼就相當於保持了影象的空間結構資訊。
2. 再說說對引數向量w的平滑約束，說白了，也就是讓相鄰的分量盡可能的相等罷了。這樣的話，w與乙個影象（肯定是拉成向量之後的影象）相乘，影象畫素與周圍畫素的大小關係得以保持，也就使得影象的空間結構資訊得到保持！當然，也就代表對空間結構資訊的利用了。
3. 關於這個問題，一般採用」最狠的「度量手段，就是相鄰分量之差的平方和，如果這個平方和盡量小，那麼相鄰分量也就越接近，向量也就越平滑。
ok！回答完了這三個問題，下面就要回歸題目了，拉普拉斯懲罰如下所示：
這個模型就是乙個加了正則化項的線性回歸模型，這個特定的正則化項就被稱作拉普拉斯懲罰！
其具體形式如下：
其中，d1和d2均為拉普拉斯運算元，而i1，i2就是單位矩陣，乘法是kronecke積。
這樣的話，假設影象x為m*n矩陣，那麼對應的引數向量w就為m*n維的列向量，當運算元採用修正的neuman運算元時（如下圖所示），公式第一項起到的作用就是保持影象的列方向的空間結構（列方向上，相鄰畫素的大小關係保持不變），第二項起到的作用就是提取行方向的空間結構（列方向上，相鄰畫素的大小關係保持不變），兩項加在一起，保持的自然就是影象整體的空間結構了。
我們再來看看拉普拉斯懲罰項，其具體可以展開成為如下形式：
上面的公式，實際上就代表了問題3所說的度量方式：相鄰變數之差的平方和。讓這個平方和越小，相鄰的分量值也就越接近，引數向量w也就越平滑嘍！這l時，還得再說說正則化的作用，最小化上述模型，通過正則化因子的」平衡作用「，如果引數因子變大，意味著引數向量w更加平滑，也就使得影象的空間結構資訊得以越好的保持。
難道空間結構資訊得以越好的保持，模型就越好嗎？我認為答案是否定的，要看你的目的是什麼，你覺得呢？
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