摘要：在資料取樣系統中，高於二分之一取樣率的頻率成分「混疊」(搬移)到有用頻帶。大多數時間，混疊是有害的***，所以在模/數(ad)轉換級之前，將「欠取樣」的較高頻率簡單濾除。但有時候，特意設計利用欠取樣，混疊使得ad系統作為混頻器工作。 本應用筆記討論資料取樣系統的不同濾波要求，介紹混疊以及用於抗混疊的不同型別濾波器。
濾波是一種我們往往視為當然的常見過程。我們在打**時，接收器濾除其它所有通道，使我們僅僅接收到特定的通道。當我們調節立體聲系統的均衡器時，利用帶通濾波器選擇性增大或降低特定頻帶的音訊訊號。
濾波器在幾乎所有資料取樣系統中扮演著重要角色。大多數模/數轉換器(adc)都安裝有濾波器，濾除超出adc範圍的頻率成分。有些adc在其結構本身上就具有濾波功能。
我們接下來討論資料取樣系統、濾波要求以及與混疊的關係。
背景資料取樣系統能夠高精度處理的最大頻率成分稱為其奈奎斯特極限。取樣率必須大於或等於輸入訊號最高頻率的兩倍。如果違反該規則，在有用頻帶內就會出現多餘或有害的訊號，稱之為「混疊」。
例如，為了數位化1khz訊號，要求最低取樣率為2khz。在實際應用中，取樣率通常較高，以提供一定的裕量，降低濾波要求。
為幫助理解資料取樣系統和混疊，我們以傳統的電影攝影為例。
在西部老片中，當馬車加速時，車輪正常加速轉動，然後看起來車輪速度卻變慢了，再然後似乎停止了。當馬車進一步加速時，車輪看起來像在倒轉。實際上，我們知道馬車沒有倒走，因為其它動作都一切正常。什麼原因造成了這種現象？答案就是：幀速率不夠高，不足以準確捕獲車輪的轉動。
為幫助理解，假設在馬車車輪上貼乙個看得到的標記，然後車輪轉動。然後我們按時間拍攝**(或取樣)。由於電影攝影機通過每秒捕獲一定數量的**來捕獲動作，所以本質上是資料取樣系統。就像膠片採用車輪的離散影象一樣，adc捕獲的是運動電訊號的一系列快照。
當馬車首次加速時，取樣率(電影攝影機的幀速率)遠遠高於車輪的轉速，所以滿足奈奎斯特條件。攝像機的取樣率高於車輪轉速的兩倍，所以能夠準確描述車輪的運動，我們看到車輪加速的樣子(圖1a和1b)。
在奈奎斯特極限下，我們在180度範圍內看到兩個點(圖1c)。人眼一般很難明確分辨這兩個點的時間，這兩個點同時出現，車輪表現為停止。在這種車輪轉速下，轉動速率是已知的(根據取樣率)，但搞不清楚轉動方向。當馬車繼續加速時，不再滿足奈奎斯特條件，看到車輪的方式可能有兩種：我們「看到」車輪在正轉，其他人則看到是倒轉(圖1d)。
馬車車輪的例子
圖1. 馬車車輪的例子。
這兩種方向都可以看做是正確的方向，取決於您如何「看」車輪，但我們知道已經發生了訊號混疊。也就是說，系統**現了有害的頻率成分，我們不能將其與真實值區分開，同時出現了正轉和倒轉的運動資訊。我們一般看到倒轉成分或正轉成分的「約數」或「映象」。由於是眼/腦相結合的方式處理資料,因此我們並不能察覺到車輪前轉的主要資訊。另一種有意思的現象是取樣率與車輪轉速嚴格相等時，由於標記始終出現在車輪的相同位置，所以資料幾乎沒有提供有用資訊。在這種情況下，沒有人能清楚車輪在轉動還是靜止。
現在轉入數學領域，假設車輪為單位圓，採用正弦和余弦座標。如果在余弦值的正向和負向峰值取樣(180度錯相)，那麼就滿足奈奎斯特條件，能夠利用兩個取樣資料點重構原始余弦值。所以，奈奎斯特極限是重構原始訊號的關鍵。當增加的點越來越多時，復現原始訊號的能力就提高了。
轉到頻域，圖2所示為取樣資料系統的頻率響應。注意，資料在取樣率的倍數處重複(原始訊號的「映象」)；這是取樣資料系統的一種基本特徵。圖2a中，滿足奈奎斯特條件，有用頻帶內沒有混疊現象。然而，在圖2b中，由於有用頻帶內的最高頻率大於二分之一取樣率，不再滿足奈奎斯特條件。重疊的區域發生了混疊；頻率為ft的訊號也出現在ft』處，與馬車車輪的混疊相似。
取樣資料系統頻率響應，無混疊。
圖2a. 取樣資料系統頻率響應，無混疊。
取樣資料系統頻率響應，發生混疊。
圖2b. 取樣資料系統頻率響應，發生混疊。
欠取樣欠取樣是一種功能強大的工具，可有效用於所選應用。欠取樣允許adc作為乙個混頻器，能夠接收調製高頻載波訊號並產生較低頻率的映象。這種方式下，就像下變頻器。另一種主要優點是允許adc的取樣率低於奈奎斯特頻率，一般具有較明顯的成本優勢。例如，假設調製載波為10mhz，頻寬為100khz (±50khz，中心頻率為10mhz)。以4mhz進行欠取樣，產生1階和與差項(f1 + f2和f1 - f2)，分別為14mhz和6mz；2階項(2f1、2f2、2f1 + f2、f1 + 2f2、| 2f1 - f2 |、| f1 - 2f2 |)，分別為8mhz、20mhz、18mhz、2mhz、24mhz和16mhz。出現在2mhz處的映象訊號為有用訊號。注意，我們的原始訊號在10mhz，通過對其進行數位化在2mhz產生了映象。現在，我們可以在數字域進行訊號處理(濾波和混頻)，恢復原始50khz訊號。該過程無需大幅的模擬處理，這是其主要優勢之一。由於所有處理都在數字域完成，如果需要對電路的效能和特性進行更改，只需修改軟體即可。相對而言，對於模擬設計，如果需要更改電路效能，需要改變電路硬體元件和布局，並且成本相當高。
欠取樣的一項缺點是有用頻帶內可能出現有害訊號，您不能將其與有用訊號區分開。此外，欠取樣時，adc輸入的頻率範圍往往非常寬。在上例中，即使取樣率為4mhz，adc前端仍然必須取樣10mhz訊號。相對而言，如果在adc之前利用模擬混頻器將調製載波訊號向下搬移到基帶，那麼adc的輸入頻寬只需要為50khz，而非4mhz，降低了adc前端和輸入濾波要求。
欠取樣示例
圖3a. 欠取樣示例。
欠取樣數位化的映象訊號(1階和2階)
圖3b. 欠取樣數位化的映象訊號(1階和2階)。
過取樣過取樣提供所謂的處理增益。在過取樣時，以較高取樣頻率獲得多出實際需要的取樣數量，然後對資料濾波，從而有效降低系統的噪底(假設雜訊為寬頻白雜訊)。這不同於平均，後者是獲取很多取樣，雜訊被平均。可以這麼理解過取樣：如果輸入訊號來自於掃瞄頻率的訊號源，頻譜則可以分為多個範圍或「容器」，每個容器的頻寬固定。寬頻雜訊分散在整個有用頻率範圍內，所以每個容器具有特定量的雜訊。現在，如果提高取樣率，那麼頻率容器的數量也增多。在這種情況下，出現的雜訊量仍相同，但我們有更多的容器可供容納雜訊。然後我們利用濾波器濾除超出有用頻帶的雜訊。結果就是每個容器的雜訊減少，所以就通過過取樣有效降低了系統的噪底。
舉例說明，如果我們有乙個2ksps adc (下式中使用1khz奈奎斯特極限)和1khz訊號，adc之後為1khz數字濾波器，處理增益由下式給出：-10 × log (1khz/1khz) = 0db。如果們將取樣率增大至10ksps，處理增益現在為-10 × log (1khz/5khz) = 7db，或者說大約1位解析度(1位大約相當於訊雜比(snr)提高6db)。通過過取樣，雜訊沒有減少，而是分散在更寬的頻寬內；將部分雜訊置於有用頻寬範圍之外，效果就相當於減少了雜訊。這種雜訊改善基於以下公式：
snr改善(db) = 10 × loga/b，其中a等於雜訊，b等於過取樣雜訊。
表述這一過程的另一種方式是：過取樣降低了帶內rms量化雜訊，係數為過取樣率的平方根。或者，如果雜訊降低二分之一，則相當於3db有效處理增益。不要忘了，我們這裡僅討論了寬頻雜訊。過取樣不能簡單消除其它雜訊源和其他誤差。
抗混疊濾波器
有了以上背景知識後，我們現在討論抗混疊濾波器。在選擇濾波器時，目標是提供乙個截止頻率，能從adc輸入中消除有害訊號或至少將其衰減至不對電路形成負面影響。抗混疊濾波器是滿足這一要求的低通濾波器。如何選擇正確的濾波器？需要考慮的關鍵引數是在通帶內的衰減量(或紋波)、阻帶內的預期濾波器滾降、過渡區域的陡度，以及不同頻率通過濾波器時的相位關係(圖4a)。
實際濾波器
圖4a. 實際濾波器。
理想濾波器具有「磚牆」響應(圖4b)，也就是說其過渡比是無限大的。然而，在實際應用中不可能存在這種情況。滾降越陡，濾波器的「q」或品質因子越高；q因子越高，濾波器的設計就越複雜。較高的q因子會造成濾波器不穩定以及在相應的拐點頻率下自振。選擇濾波器的關鍵是了解干擾訊號的頻率及對應幅值。例如，對於手機，設計者知道鄰近訊號的最差工作條件幅值和位置，從而有針對性地進行設計。並不是所有訊號都能在頻域**，甚至有些已知干擾訊號太大，不能足夠地衰減。但是，根據環境和應用，您可考慮已知干擾和設計，最大程度降低隨機干擾，確保工作更可靠。
理想濾波器
圖4b. 理想濾波器。
已知有用訊號頻率後，利用簡單的濾波程式確定所需的濾波器結構，以滿足通帶、阻帶和過渡區域要求。在四種基本濾波器型別中，每種都有其各自的優勢(圖5)。
四種基本的濾波器型別
圖5. 四種基本的濾波器型別
例如，巴特沃斯(butterworth)濾波器的通帶區域最平坦，意味著在相應頻率範圍內的衰減最小；貝塞爾(bessel)濾波器的滾降較平緩，但其主要優勢是線性相位響應，意味著每種頻率成分在通過濾波器時的延時是相等的；由於群延遲定義為相位響應相對於頻率的偏差，所以線性相位響應通常指的是固定群延遲。切比雪夫(chebyshev)濾波器的滾降較陡，但在通帶內紋波較大。橢圓(elliptic)濾波器的滾降最陡。對於最簡單的抗混疊濾波器，簡單的單極點無源rc濾波器往往是可以接受的。在其它情況下，有源濾波器(即使用運放)比較合適。有源濾波器的一項優勢是多階濾波器，濾波器對外部元件值不太敏感，特別是濾波器的「q」值。
抗混疊濾波器通常不必嚴格對應拐點頻率的位置，所以設計時具有一定餘地。例如，如果您需要最大平坦度，但在通帶內仍然有太大衰減，只需將拐點頻率移遠即可解決問題。如果阻帶衰減太小，則可提高濾波器的極點數。另一種方案是在濾波後將訊號放大，提高訊號相對於有害訊號的幅值。
對原始訊號使用抗混迭濾波器的乙個示意圖如下。假設你只想採集頻率為f1和f2的訊號。注意f3位於濾波器的過渡帶。這樣，不想要的f3會被衰減但仍然會有殘留部分被取樣。同時注意f4位於過渡帶之外，因此會被完全濾除。
總結：l 輸入訊號中可能含有高於取樣頻率的訊號，需使用抗混疊濾波器去除。
l 在選擇取樣頻率時需滿足取樣頻率》抗混頻濾波器過渡帶截止頻率*2。
抗混疊濾波器
只要取樣的頻率高於原始訊號頻譜中最高頻率的2倍，就可以無損的將訊號復原出來。由於時間是有限的，而頻率是無限的，我們的取樣頻率不可能無限高，而一些雜訊訊號的頻率卻可以無限高，那這樣會造成什麼樣的影響呢？答案是會造成頻率混疊 圖 b 是頻率1hz的訊號，圖 c 是頻率9.5hz的雜訊，圖 a 是原始資料...
抗混疊濾波器 原理
抗混疊濾波器 定義 首先我們要明白，抗混疊濾波器不是指某一特定形式濾波器，而是一類總稱。通常以低通為主 低通 帶通都可以說是抗混疊濾波器。工程測量中取樣頻率不可能無限高也不需要無限高，因為一般只關心一定頻率範圍內的訊號成份。為解決頻率混疊，在對模擬訊號進行離散化採集前，採用低通濾波器濾除高於1 2取...
論高通濾波器，帶阻濾波器，陷波濾波器
首先，對一副影象進行如下二維傅利葉變換。我們將u 0和v 0帶上式，我們可以得到如下式子。根據上式，可以到f 0,0 的值是非常大的。這裡，我們將 f 0,0 稱為直流分量，直流分量比其他的成分要大好幾個數量級。所以，這也就是傅利葉譜為什麼需要使用對數變換才能看清楚的原因。這裡，對於高通濾波器而言，...