sicp 1.2.6 介紹了一種對數複雜度的素數檢查方法。
參考資料
質數又稱素數。對於大於1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫質數；否則稱合數。1既不是質數也不是合數。
如何程式設計檢查乙個數是不是質數？我所知道的方法有：
其中，費馬檢查是一種概率演算法，有一定的錯誤率。
費馬小定理描述了質數的乙個性質，滿足此性質的卻不都是質數。
此定理指導我們程式設計如下，
def
fermat_test
(n):
import random
a = random.randint(
1, n -1)
return a**
(n -1)
% n ==
1
使用下列實驗**：
carmichaels =
561,
1105
,1729
,2465
,2821
,6601
normal_numbers =
563,
1107
,1727
,3465
,4821
,6607
ns = carmichaels
for n in ns:
t =[i**
(n -1)
% n ==
1for i in
range(1
, n)
]print
('%-5d%8.2f'
%(n,
sum(t)
/len
(t))
)
carmichael
通過費馬檢查的概率
5610.57
1105
0.70
1729
0.75
2465
0.73
2821
0.77
6601
0.80
通過率都高於50%！與此相對，一般合數的費馬通過率都接近於0.
只要在檢驗an−
1≡1(
modn
)a^\equiv 1(mod\ n)
an−1≡1
(mod
n)，即計算an−
1mod
na^mod\ n
an−1mo
dn時，檢查中間平方步驟的得數。如果遇到「1
11取模n
nn的非平凡平方根」，即1
11與n−1
n-1n−
1之外的x
xx滿足x2≡
1(mo
dn
)x^2\equiv1(mod\ n)
x2≡1(m
odn)
，那麼n
nn就不是質數。
def
miller_rabin_test
(n):
defnon_trival_sqrt
(n, m)
:if n ==
1or n == m -1:
return
false
return n**
2% m ==
1def
expmod
(base, exp, m)
:if exp ==0:
return
1elif exp %2==
0:x = expmod(base, exp //
2, m)
if non_trival_sqrt(x, m)
:return
0else
:return x**
2% m
else
:return base * expmod(base, exp -
1, m)
% m a = random.randint(
1, n -1)
return expmod(a, n -
1, n)
==1
carmichael
miller-rabin通過率
5610.02
1105
0.03
1729
0.09
2465
0.03
2821
0.10
6601
0.05
sicp
非遞迴實現
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費馬小定理
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