費馬小定理的證明如下：
任意取乙個質數，比如13。考慮從1到12的一系列整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，給這些數都乘上乙個與13互質的數，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。對於模13來說，這些數同余於3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。這些餘數實際上就是原來的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是順序不同而已（這裡可以用中國剩餘定理去理解）。
把1,2,3,„,12統統乘起來，乘積就是12的階乘12！。把3,6,9,„,36也統統乘起來，並且提出公因子3，乘積就是312×12！。對於模13來說，這兩個乘積都同余於1,2,3,„,12系列，儘管順序不是一一對應，即312×12！≡12！mod 13。兩邊同時除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到費馬小定理
1*2*..*12 ≡ 3*6*9*12*2*5*8*11*1*4*7*10 mod 13 （因為順序不同而已）
而3*6*9*12*15*18*21*24*27*30*33*36 ≡ 3*6*9*12*2*5*8*11*1*4*7*10 mod 13 （因為3和13互質，所以1，2，.. 12 乘上3後還是和13互質，12個數還是和1到12同餘 ，只是順序不同了 ）。
所以312×12！≡12！mod 13。
費馬小定理可以快速求得x關於p的逆。前提是x與p互質。
所以
費馬大定理與費馬小定理
費馬大定理，又被稱為 費馬最後的定理 由17世紀法國數學家皮耶 德 費瑪提出。他斷言當整數n 2時，關於x,y,z的方程 xn yn zn 沒有正整數解。德國佛爾夫斯克曾宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內，第乙個證明該定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的 證明 被提出後，經歷多人猜想辯...
費馬小定理
選自 數論妙趣 數學女王的盛情款待 第六章 開門咒 數論中充斥著許多易於觀察到的事實，誘使人們用普通歸納推理的辦法去進行推廣。對此，必須慎之又慎，以免誤入陷阱。設想你偶而把 2自乘7次，再減去2，得2 7 2 126，隨後發現，126恰好能被2的冪指數7整除。接著又發現，25 2 30，30也能被2...
費馬小定理
費馬小定理 在較短時間內計算 a n p n極大 推倒 費馬小定律的描述，若a,p互質，則 a p 1 p 1 若不互質，則a p p a a,p互質，設n p 1 j餘n p 1 則 a n p a n p 1 p 1 j p a n p 1 a p 1 j p a n p 1 p a p 1 p...