不存在乙個常數c
cc，使得素數數列的任意一項與c
cc相加後即可被該項的序數整除。
假設(1)：存在乙個常數c
cc，使得素數數列的任意一項與c
cc相加後即可被該項的序數n
nn整除。
設整數d=a
n+cn
d=\frac
d=nan
+c，顯而易見c
cc為整數，且c≠0
c\neq 0
c=0。
設c =∣
c∣
c=\left| c\right|
c=∣c
∣，可知c
cc為大於0的自然數。
當n =c
n=cn=
c時，d=a
c+cc
d=\frac
d=cac
+c⇒d⋅
∣c∣=
ac+c
\rightarrow d\cdot \left| c\right|=a_c+c
⇒d⋅∣c∣
=ac
+c⇒ ac
=c(±
d−1)
\rightarrow a_c=c(\pm d-1)
⇒ac=c
(±d−
1)。因為素數數列每一項的數值都大於其序數。
所以a
c>c≥
∣c
∣a_c>c\geq \left| c\right|
ac>c≥
∣c∣。
又因為c
cc和(±d
−1
)(\pm d-1)
(±d−1)
都為整數，
再由素數性質可知c=±
1c=\pm 1
c=±1。當n=7
n=7n=
7時，d=a
7±17
=17±1
7d=\frac=\frac
d=7a7
±1=
717±
1與d
dd為整數矛盾。
所以假設(1)不成立。
得出結論：命題(2)為真命題。
和《將遞迴引入數列並嘗試探索素數》裡面的方法是一樣的。
不過這次不是在假設素數通項式存在的前提下了。
而是證明了素數數列乙個實實在在不疼不癢的性質 -_-!!
乙個難看的證明和乙個漂亮的證明
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HDU 5821（乙個數列變換成另乙個數列）
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