所謂簡單多邊形，就是指不相鄰的邊不相交，且每個頂點只跟2條邊相鄰。一般而言，除非題目要求判斷是否為簡單多邊形，否則給出的資料肯定都是簡單多邊形。以下將簡單多邊形簡稱為多邊形。多邊形一般都是以點集的形式給出，順時針或者逆時針。另外乙個需要注意的概念就是多邊形的凹凸性。一般而言，凸多邊形的演算法比凹多邊形的演算法要簡單的多。所以設計演算法時，必須注意題目條件。而有向面積是不區分凹凸性的演算法之一。
計算三角形的面積和有向面積使用叉積即可，請參考計算幾何的基礎資料結構與演算法，這種情況下很容易計算出凸多邊形的面積，對乙個n邊形來說，就是n−2
n-2n−
2個三角形的面積之和。而對凹多邊形而言，如上圖右邊，△p0
p1p2
\big********up
△p0p1
p2
其實不在多邊形內，如果直接加面積必然出錯。但解決辦法也很簡單，使用有向面積！△p0
p1p2
\big********up
△p0p1
p2
的旋向與整個多邊形的旋向其實是反的，而△p0
p2p3
\big********up
△p0p2
p3
則是正的，有向面積累加之後，很自然的多邊形外部的面積就抵消了。最後的結果仍然是整個多邊形的有向面積。更進一步的，實際上不需要選擇p
0p_0
p0作為基點來劃分三角形，也不需要選擇多邊形內部的一點，而是平面上的任意點。
如上圖，△op
0p1\big********up
△op0p
1既包含了多邊形的內部部分，也包含了多邊形的外部部分，但是△op
1p2\big********up
△op1p
2旋向相反，就會抵消一部分，如此迴圈，最後外部部分必然全部抵消，只剩下多邊形的內部部分。無論凹凸都一樣。
總結一下，多邊形的有向面積，其實就是選乙個基準點（一般就是p
0p_0
p0），然後對每條邊（邊與基準點構成乙個三角形）算乙個三角形的有向面積，累加即可。而圓與多邊形相交求面積的處理思路是一樣的。
如上圖所示，選擇圓心o
oo作為基準點，則多邊形與圓o
oo相交的有向面積，可以分解為圓o
oo與圓心△op
ipi+
1\big********up}
△opip
i+1
的有向面積。所以，只需求解圓心三角形與圓相交的有向面積即可。
設圓心三角形的另外2個點分別為a
aa和b
bb，顯然要考慮線段abab
ab與圓o
oo的相交情況。如果使用幾何方法，需要判斷a
aa、b
bb是否在圓內等幾種情況。這裡使用引數法來描述線段abab
ab，將所有情況討論都轉化為對一元二次方程根的討論，形式上比較統一。當然討論情況的數量是一樣多的。設p
pp是線段abab
ab上的一點，則p=(
1−t)
a+tb
p=(1-t)a+tb
p=(1−t
)a+t
b當tt
t取值[0,
1][0,1]
[0,1
]時，p
pp就是線段abab
ab上的點，當t≥1
t\ge1
t≥1時，t
tt就是射線b（ab方向）上的點，當t≤0
t\le0
t≤0時，t就是射線a(ba方向)上的點。所以控制t的取值，就能控制ab這一段線元到底是線段、射線還是直線。t的本質含義就是（注意與定比分點的區別）t=a
pabt=\frac
t=abap
又由於p是圓o上一點，所以滿足圓方程，於是可以得到乙個關於t的一元二次方程。t的解就對應直線ab與圓o的相交情況。設t
1t_1
t1是較小的解，t
2t_2
t2是較大的解，有如下情況：
求得圓心三角形與圓相交的面積後，不需要區分三角形還是多邊形，直接按照n邊形迴圈n次即可。具體**可以參考多邊形與圓相交求面積題目。
多邊形求面積，
這個程式很值得一博。昨天一位學地質的高中同學問我寫個程式求多邊形面積，因為他說看到excel就煩。正好前段時間在csdn上看到乙個帖子求多邊形面積，也想到了乙個演算法，於是寫了這個程式。演算法描述 乙個多邊形的面積可以由這樣兩個系列的梯形來計算，以凸多邊形舉例，在圖形上方的一系列邊和其在x軸的投影組...
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