RMQ問題 線段樹演算法，ST演算法優化

對於長度為n的數列a，回答若干詢問rmq(a,i,j)(i,j<=n)，返回數列a中下標在[i,j]裡的最小(大）值，也就是說，rmq問題是指求區間最值的問題

主要方法及複雜度(處理複雜度和查詢複雜度)如下:

1.樸素（即搜尋） o(n)-o(n)

2.線段樹(segment tree) o(n)-o(qlogn)

3.st（實質是動態規劃） o(nlogn)-o(1)

線段樹方法:

線段樹能在對數時間內在陣列區間上進行更新與查詢。

定義線段樹在區間[i, j] 上如下：

第乙個節點維護著區間 [i, j] 的資訊。

if i

1 #include2

3using
namespace
std;45
#define maxn 100
6#define maxind 256 //
線段樹節點個數78
//構建線段樹,目的:得到m陣列.
9void initialize(int node, int b, int e, int m, int
a)1025}
2627
//找出區間 [i, j] 上的最小值的索引
28int query(int node, int b, int e, int m, int a, int i, int
j)29
5859
60int
main()61;
65     initialize(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1
, m, a);
66     cout<1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, m, a, 0, 5)<67return0;
68 }

st演算法（sparse table）:它是一種動態規劃的方法。

以最小值為例。a為所尋找的陣列.

用乙個二維陣列f(i,j)記錄區間[i,i+2^j-1](持續2^j個)區間中的最小值。其中f[i,0] = a[i];

所以，對於任意的一組(i,j)，f(i,j) = min來使用動態規劃計算出來。

這個演算法的高明之處不是在於這個動態規劃的建立，而是它的查詢：它的查詢效率是o(1).

假設我們要求區間[m,n]中a的最小值，找到乙個數k使得2^k

1 #include2 #include3 #include4

using
namespace
std;56
#define m 100010
7#define maxn 500
8#define maxm 500
9int dp[m][18
];10
/*11
*一維rmq st演算法
12*構造rmq陣列 makermq(int n,int b) o(nlog(n))的演算法複雜度
13*dp[i][j] 表示從i到i+2^j -1中最小的乙個值(從i開始持續2^j個數)
14*dp[i][j]=min
15*查詢rmq rmq(int s,int v)
16*將s-v 分成兩個2^k的區間
17*即 k=(int)log2(s-v+1)
18*查詢結果應該為 min(dp[s][k],dp[v-2^k+1][k])
19*/
2021
void makermq(int n,int
b)22
30int rmq(int s,int
v)31
3536
void makermqindex(int n,int b) //
返回最小值對應的下標
3745
int rmqindex(int s,int v,int
b)46
5051
intmain()52;
54//
返回下標
55     makermqindex(sizeof(a)/sizeof(a[0
]),a);
56     cout<0,9,a)<57     cout<4,9,a)<58//
返回最小值
59     makermq(sizeof(a)/sizeof(a[0
]),a);
60     cout<0,9)<61     cout<4,9)<62return0;
63 }

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