fft（ fast fourier transformation）是離散傅氏變換（dft）的快速演算法。即為快速傅氏變換。
傅利葉變換大致有四種型別：
（1）連續傅利葉變換（ft）
（2）連續傅利葉級數（fs）
（3）離散時間傅利葉變換（dtft）
（4）離散傅利葉級數（dfs）
這裡主要講解離散時間傅利葉變換中的一種快速變換演算法fft，適用於計算機，微處理器等數字裝置進行運算分析。
提到傅利葉變換，畏難心理可能讓大多數人都覺得很難，要麼在門外不敢踏進來看看，要麼就是進來後深陷傅氏複雜枯燥無味的理論而無法自拔，最後過段時間什麼也不記得了。這是由於大家沒有真正將傅氏變換應用起來，一直處於理論分析層次，不免讓人覺得傅氏很高冷。其實真正的傅氏是很接地氣的，很有用，應用範圍非常廣泛。這裡主要結合matlab**通過例子詳細分析fft的使用。
fft是將離散的時間域訊號變換到頻域內進行分析。主要應用於對訊號的提取和分析，去噪。如圖所示：用一首古詩形容fft存在的意義最貼切了：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。有時候我們在時域中對乙個有用的訊號提取我們需要的有效成分，剔除雜訊是很困難的，訊號和雜訊雜糅在一起，根本無法區分開，如果我們在頻域中分析訊號和雜訊就容易多了，訊號的幅值一般比雜訊幅值大很多，雜訊幅值較小，在頻域中，雜訊無處遁形，根據頻域幅值縱座標可以發現我們需要的訊號，再通過頻率橫座標就可以知道有用訊號的頻率範圍了，整個去噪過程就是這麼簡單。
fft中關鍵的引數： 取樣頻率：fs; //根據奈奎斯特取樣定理(又稱夏農取樣定理)：fs≥2fmax
取樣點數：n; //n個點（0:n-1）,頻域中橫座標有效資料範圍(0:n-1)
取樣頻率解析度：fs_div=fs/n; //頻域中，橫座標的解析度（最小刻度）
取樣週期(取樣頻率解析度的倒數，也是取樣頻率fs倒數與取樣點數n的乘積)：ts=1/fs_div=n/fs; //乙個週期取樣n個點
由上面公式可知取樣頻率解析度fs_div和取樣週期ts有關（也就是和取樣頻率fs，取樣點數n共同決定的），取樣週期ts越長，取樣頻率解析度fs_div值越小，解析度就越高。（1）當取樣頻率fs保持不變時，增大取樣點數n，取樣頻率解析度fs_div值變小，解析度就變高。
（2）當取樣點數n保持不變時，減小取樣頻率fs，取樣頻率解析度fs_div值變小，解析度就變高。（前提要保證取樣定理，否則減小取樣頻率也就失去了意義，採集的資料已經失真，失去了應有的價值了）
舉例介紹fft的使用：
例程1：
clf;
x=[2,5,1,9,10,2];
y=fft(x);
y= 29.0000 + 0.0000i -9.0000 + 5.1962i 2.0000 -10.3923i -3.0000 + 0.0000i 2.0000 +10.3923i -9.0000 - 5.1962i
例程2：y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t)。取樣頻率fs=128hz，分別繪製n=128、1024點幅頻圖。fs>2*fmax(即30)，滿足取樣定理。
clf;
fs=128;n=128; %取樣頻率和資料點數
n=0:n-1;t=n/fs; %時間序列
y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t); %訊號
y=fft(y1,n); %對訊號進行快速fourier變換
mag=abs(y); %求得fourier變換後的振幅
f=n*fs/n; %頻率序列
subplot(2,2,1),plot(f,mag); %繪出隨頻率變化的振幅
xlabel('頻率/hz');
ylabel('振幅');title('fs=128 n=128');grid on;
subplot(2,2,2),plot(f(1:n/2),mag(1:n/2)); %繪出nyquist頻率之前隨頻率變化的振幅
xlabel('頻率/hz');
ylabel('振幅');title('fs=128 n=128');grid on;
%對訊號取樣資料為1024點的處理
fs=128;n=1024;n=0:n-1;t=n/fs;
y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t); %訊號
y=fft(y1,n); %對訊號進行快速fourier變換
mag=abs(y); %求取fourier變換的振幅
f=n*fs/n;
subplot(2,2,3),plot(f,mag); %繪出隨頻率變化的振幅
xlabel('頻率/hz');
ylabel('振幅');title('fs=128 n=1024');grid on;
subplot(2,2,4)
plot(f(1:n/2),mag(1:n/2)); %繪出nyquist頻率之前隨頻率變化的振幅
xlabel('頻率/hz');
ylabel('振幅');title('fs=128 n=1024');grid on;
%得到的頻域圖，訊號的幅值變換為實際大小：需乘以2除以n（取樣點數）
由上圖可以看出訊號中的兩種頻率訊號：15hz，30hz。直接在時域中看原始訊號是沒有辦法得到有用訊號的。只有換個視角，從頻域看才能得到我們想要的訊號量。
幅值計算：（1）fs=128，n=128，頻率為15hz的訊號幅值a=512*（2/n）=8，由訊號組成y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t)可以看出15hz訊號的幅值為8。（2）fs=128，n=128，頻率為30hz的訊號幅值a=1024*（2/n）=16，符合實際結果。（3）fs=128，n=1024，頻率為15hz的訊號幅值a=4096*（2/n）=8，符合實際結果。（4）fs=128，n=1024，頻率為30hz的訊號幅值a=8192*（2/n）=16，符合實際結果。
關於FFT快速傅利葉變換
前一段時間荒廢掉了 一直在糾結zkw大牛的數學歸納法的 結果看不懂 一直很糾結fft是怎麼實現的 一直以為fft是很巧妙的利用數論之類的東西做，所以每次看到這方面的資料就蛋疼，因為一般都畫了個座標系，然後就懵了 昨天晚上無聊翻算導看到fft這一章，就把它學了，發現算導有的時候講細一點還是有好處的，至...
快速傅氏變換之旅 一 概念簡介 1
fft fast fourier transformation 即為快速傅氏變換，是離散傅氏變換的快速演算法，它是根據離散傅氏變換的奇 偶 虛 實等特性，對離散傅利葉變換的演算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論並沒有新的發現，但是對於在計算機系統或者說數字系統 中應用離散傅利葉變換，可以說是進了一...
快速傅利葉變換實驗報告 FFT快速傅利葉變換的推導
從我的學習經驗來看，如果不是對dft非常熟悉的，可能會在理解fft演算法的時候有點懵逼。首先搞清楚，dft計算的是什麼及其公式。其中 展開後得 上面多項式可轉化為下面的矩陣 最後看到離散傅利葉就是乙個複數的矩陣乘法計算。從上面看到矩陣裡的元素全是復指數的冪，根據復指數w的週期性，可以推導出矩陣中相同...