KMP演算法詳解

（原創）詳解kmp演算法

kmp演算法應該是每一本《資料結構》書都會講的，算是知名度最高的演算法之一了，但很可惜，我就沒看懂過~~~

之後也在很多地方也都經常看到講解kmp演算法的文章，看久了好像也知道是怎麼一回事，但總感覺有些地方自己還是沒有完全懂明白。這兩天花了點時間總結一下，有點小體會，我希望可以通過我自己的語言來把這個演算法的一些細節梳理清楚，也算是考驗一下自己有真正理解這個演算法。

什麼是kmp演算法：

kmp是三位大牛：d.e.knuth、j.h.morris和v.r.pratt同時發現的。其中第一位就是《計算機程式設計藝術》的作者！！

kmp演算法要解決的問題就是在字串（也叫主串）中的模式（pattern）定位問題。說簡單點就是我們平時常說的關鍵字搜尋。模式串就是關鍵字（接下來稱它為p），如果它在乙個主串（接下來稱為t）**現，就返回它的具體位置，否則返回-1（常用手段）。

首先，對於這個問題有乙個很單純的想法：從左到右乙個個匹配，如果這個過程中有某個字元不匹配，就跳回去，將模式串向右移動一位。這有什麼難的？

我們可以這樣初始化：

之後我們只需要比較i指標指向的字元和j指標指向的字元是否一致。如果一致就都向後移動，如果不一致，如下圖：

a和e不相等，那就把i指標移回第1位（假設下標從0開始），j移動到模式串的第0位，然後又重新開始這個步驟：

基於這個想法我們可以得到以下的程式：

/**
* 暴力破解法
* @param ts 主串
* @param ps 模式串
* @return 如果找到，返回在主串中第乙個字元出現的下標，否則為-1
*/public static
intbf
(string ts, string ps)
else}if
(j == p.length)
else
}

上面的程式是沒有問題的，但不夠好！（想起我高中時候數字老師的一句話：我不能說你錯，只能說你不對~~~）

如果是人為來尋找的話，肯定不會再把i移動回第1位，因為主串匹配失敗的位置前面除了第乙個a之外再也沒有a了，我們為什麼能知道主串前面只有乙個a？因為我們已經知道前面三個字元都是匹配的！（這很重要）。移動過去肯定也是不匹配的！有乙個想法，i可以不動，我們只需要移動j即可，如下圖：

上面的這種情況還是比較理想的情況，我們最多也就多比較了再次。但假如是在主串「sssssssssssssa」中查詢「ssssb」，比較到最後乙個才知道不匹配，然後i回溯，這個的效率是顯然是最低的。

大牛們是無法忍受「暴力破解」這種低效的手段的，於是他們三個研究出了kmp演算法。其思想就如同我們上邊所看到的一樣：「利用已經部分匹配這個有效資訊，保持i指標不回溯，通過修改j指標，讓模式串盡量地移動到有效的位置。」

所以，整個kmp的重點就在於當某乙個字元與主串不匹配時，我們應該知道j指標要移動到哪？

接下來我們自己來發現j的移動規律：

如圖：c和d不匹配了，我們要把j移動到哪？顯然是第1位。為什麼？因為前面有乙個a相同啊：

如下圖也是一樣的情況：

可以把j指標移動到第2位，因為前面有兩個字母是一樣的：

如果用數學公式來表示是這樣的

p[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]

這個相當重要，如果覺得不好記的話，可以通過下圖來理解：

弄明白了這個就應該可能明白為什麼可以直接將j移動到k位置了。

因為:當t[i] != p[j]時

有t[i-j ~ i-1] == p[0 ~ j-1]

由p[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]

必然：t[i-k ~ i-1] == p[0 ~ k-1]

公式很無聊，能看明白就行了，不需要記住。

這一段只是為了證明我們為什麼可以直接將j移動到k而無須再比較前面的k個字元。

好，接下來就是重點了，怎麼求這個（這些）k呢？因為在p的每乙個位置都可能發生不匹配，也就是說我們要計算每乙個位置j對應的k，所以用乙個陣列next來儲存，next[j] = k，表示當t[i] != p[j]時，j指標的下乙個位置。

很多教材或博文在這個地方都是講得比較含糊或是根本就一筆帶過，甚至就是貼一段**上來，為什麼是這樣求？怎麼可以這樣求？根本就沒有說清楚。而這裡恰恰是整個演算法最關鍵的地方。

public static
int[
]getnext
(string ps)
else
}return next;
}

這個版本的求next陣列的演算法應該是流傳最廣泛的，**是很簡潔。可是真的很讓人摸不到頭腦，它這樣計算的依據到底是什麼？

好，先把這個放一邊，我們自己來推導思路，現在要始終記住一點，next[j]的值（也就是k）表示，當p[j] != t[i]時，j指標的下一步移動位置。

先來看第乙個：當j為0時，如果這時候不匹配，怎麼辦？

像上圖這種情況，j已經在最左邊了，不可能再移動了，這時候要應該是i指標後移。所以在**中才會有next[0] = -1;這個初始化。

如果是當j為1的時候呢？

顯然，j指標一定是後移到0位置的。因為它前面也就只有這乙個位置了~~~

下面這個是最重要的，請看如下圖：

請仔細對比這兩個圖。

我們發現乙個規律：

當p[k] == p[j]時，

有next[j+1] == next[j] + 1

其實這個是可以證明的：

因為在p[j]之前已經有p[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）

這時候現有p[k] == p[j]，我們是不是可以得到p[0 ~ k-1] + p[k] == p[j-k ~ j-1] + p[j]。

即：p[0 ~ k] == p[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。

這裡的公式不是很好懂，還是看圖會容易理解些。

那如果p[k] != p[j]呢？比如下圖所示：

像這種情況，如果你從**上看應該是這一句：k = next[k];為什麼是這樣子？你看下面應該就明白了。

現在你應該知道為什麼要k = next[k]了吧！像上邊的例子，我們已經不可能找到[ a，b，a，b ]這個最長的字尾串了，但我們還是可能找到[ a，b ]、[ b ]這樣的字首串的。所以這個過程像不像在定位[ a，b，a，c ]這個串，當c和主串不一樣了（也就是k位置不一樣了），那當然是把指標移動到next[k]啦。

有了next陣列之後就一切好辦了，我們可以動手寫kmp演算法了：

public static
intkmp
(string ts, string ps)
else}if
(j == p.length)
else
}

和暴力破解相比，就改動了4個地方。其中最主要的一點就是，i不需要回溯了。

最後，來看一下上邊的演算法存在的缺陷。來看第乙個例子：

顯然，當我們上邊的演算法得到的next陣列應該是[ -1，0，0，1 ]

不難發現，這一步是完全沒有意義的。因為後面的b已經不匹配了，那前面的b也一定是不匹配的，同樣的情況其實還發生在第2個元素a上。

顯然，發生問題的原因在於p[j] == p[next[j]]。

所以我們也只需要新增乙個判斷條件即可：

public static int getnext(string ps)  else 
} else 
}return next;
}

好了，至此。kmp演算法也結束了。

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