近日以來，由於學習影象處理，感覺其對傅利葉變換等內容要求較高，故重整旗鼓又過了一遍訊號系統等章節，做了不少實驗，有所感悟，特記錄下，以便備忘！
首先，對於傅利葉變換，最為需要理解的便是傅利葉級數，個人感覺這個是後邊最為基礎也是最為重要的部分，對於連續傅利葉級數有：
從傅利葉級數的定義可以很明顯看出，對於乙個週期訊號，其可以用以一系列的復正弦訊號來合成，這一系列訊號成諧波關係，另外也可發現對於連續時間訊號的合成，需要復正弦訊號的「個數」是無窮的，而離散時間訊號，需要復正弦訊號的「個數」是有限的，為n個，即週期數量多個，這個的原因是由連續和離散訊號的特性決定（離散時間復正弦訊號週期為2pi）。
對於傅利葉變換，其本身看做傅利葉級數的推廣（週期為無限長），
連續時間傅利葉變換（ft）：
離散時間傅利葉變換（dtft）：
在許多書上，離散時間傅利葉變換都是由是連續訊號取樣得到的離散訊號而得到，這樣來介紹，由於有取樣頻率等的影響，這樣會對連續，離散訊號產生一定的混淆，個人認為，離散傅利葉變換時離散時間訊號的頻域特性，並不一定非得和取樣，連續訊號等產生關係，離散訊號可以是由連續訊號取樣，歸一化產生，也可以是其本身就是離散的，如年月日，畫素座標等，如果離散訊號是由連續訊號取樣得到的，那麼，當用給定的取樣頻率，對連續訊號取樣，歸一化後，那麼就產生了乙個新的離散訊號，至於其傅利葉變換和原來的傅利葉變換有何關係，這就是另外乙個話題了。
傅利葉變換的核心思想便是能讓任意乙個訊號都可以由一種基本訊號來合成，這個基本訊號對於
連續時間訊號便是:exp(jwt)，
離散時間訊號便是:exp(jwn)。
對於dtft的定義式，可以發現其積分是由-pi到pi，而對於ft的定義式，積分是從-無窮到+無窮，其根本原因就是，基本訊號存在差異，對於exp(jwt)，其不存在週期，當w取任意值，exp(jwt)都會變為乙個獨一無二的訊號，故ft需要從-無窮積分到+無窮，讓每乙個exp(jwt)都能成為被合成訊號的成分（當然這還得取決於前面係數，即傅利葉係數），而對於dtft而言，由於其基本訊號exp(jwn)週期為2pi，故當要合成新訊號時，只需要取任何乙個2pi區段就可獲得合成訊號的所有成分，故上式取-pi到pi即可，當然，這樣也很容易得出f(exp(jw))也是週期的。
關於離散傅利葉變換（dft），其定義為：
對於上述問題，在圖中做了解答，可以發現，只有對於長度為n的有限序列，其取不少於n個點的dft才是對dtft的取樣，這是由於其序列有限又能有這個結果，個人認為，這也解答了為何dfs與dft有個係數上的差異，這就是為了在dtft與dft的滿足取樣特點的吻合。另外附上利用dft模擬dtft的幾張示意圖：
圖為序列[1,2,3,4]的各點的dft圖
第一幅圖取了10000個點，可近似看做dtft，
第二幅圖僅僅取了2點，很明顯與第一幅圖對比，這個並不包含所有資訊，故此幅圖僅代表[1,2]的兩點dft，
第三幅圖取了4點，與第一幅圖對比，這個包含所有資訊，相當與在dtft中取樣出exp(2pi/4)*[0,1,2,3]的值，
第四幅圖顯然就比較接近與第一幅圖了。
理解離散傅利葉變換（一 傅利葉變換的由來）
理解離散傅利葉變換 一 傅利葉變換的由來 要理解傅利葉變換，確實須要一定的耐心，別一下子想著傅利葉變換是怎麼變換的，當然，也須要一定的高等數學基礎，最主要的是級數變換，當中傅利葉級數變換是傅利葉變換的基礎公式。一 傅利葉變換的提出 讓我們先看看為什麼會有傅利葉變換？傅利葉是一位法國數學家和物理學家的...
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