揹包問題知識總結

揹包問題在不同的資料中可能分為不同的類別，在學習揹包問題時，我們將揹包分為以下幾類:01揹包，完全揹包，多重揹包，分組揹包。

先乙個乙個說起：

一、01揹包：

有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

這是求最大利潤值的01揹包問題，01揹包是最基礎的揹包問題，其中0，1的由來就是放或不放兩種選擇的問題（物品只有一件，對於每種物品都是兩種選擇。）

根據問題我們便可以建立狀態轉移方程：

f[i][v]=max

其中f[i][v]表示前i件物品恰好放入乙個容量為v的揹包可獲得的最大價值（f[i][v]在第i件物品的選擇上對價值總和而言還與前i-1件物品的價值總和有關，再根據第i件物品是否選擇可列出方程）

優化空間複雜度：

上面的狀態轉移方程為二維陣列，當資料量較大時容易占用大量記憶體空間，如果我們能夠將二維陣列轉化為一維陣列會節省大量空間：我們可以通過規律發現每次第i件物品都只與前i-1件物品有關，所以我們不在寫出i,i-1之間的關係，將它們省略掉，寫成：f[v]=max; 這裡我們仍預設i從1到n的迴圈關係。

對於揹包問題，還有一處細節（要求），就是看揹包是否裝滿：初始化細節：若要求恰好裝滿揹包，初始化時除了f[0]為0其它f[1…v]均設為-∞，-∞表示揹包在此時並未裝滿，並沒有達到要求。若沒有要求必須把揹包裝滿，初始化時將f[0…v]全部設為0

二、完全揹包

有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

完全揹包與01揹包唯一的區別就是物品充足，可以隨意裝入，當然我們可以轉化為01揹包：考慮到第i種物品最多選v/c[i]件，於是可以把第i種物品轉化為v/c[i]件費用及價值均不變的物品，然後求解這個01揹包問題。f[i][v]=max;m=v/c[i];即f[v]=max 。

此處v的迴圈次序和01揹包的迴圈次序不同，01揹包是v…0;完全揹包是0…v。

三、多重揹包：

有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

相對於完全揹包物品的數量進行了限制，基本的方程只需將完全揹包問題的方程略微一改即可，因為對於第 i 種物品有 n[i]+1 種策略：取 0 件，取 1 件… 取 n[i] 件。

令 f[i][v] 表示前 i 種物品恰放入乙個容量為 v 的揹包的最大權值，則有狀態轉移方程：

f[i][v]=max

四、分組揹包：

這個問題變成了每組物品有若干種策略：是選擇本組的某一件，還是一件都不選。

狀態方程：

for 所有的組k

for v=v…0

for 所有的i屬於組k

「for v=v…0 」這一層迴圈必須在「 for 所有的 i 屬於組 k」之外。這樣才能保證每一組內的物品最多只有乙個會被新增到揹包中。

f[k][v]=max

壓縮優化後：

f[v]=max

在解決這些問題時，我們首先要確定是哪一類揹包問題，這基本上也很容易看出，然後套用該揹包問題的演算法模板形式就容易解決問題了，不過有的題目似乎是揹包的混合問題，當然這類問題比較難，需要我們更加深入的思考。