排序 快速排序

快速排序用的恰到好處時，它是迄今為止所有內排序演算法中最快的一種。快速排序演算法（qsa）本身在不斷對小陣列進行排序，是分治法的副產品，它是不穩定的。qsa應用廣泛，典型應用是unix系統呼叫庫函式例程中的qsort函式。qsa有時會由於最差時間代價的效能而在某些應用中無法採用。相對於用二叉樹進行排序來說，qsa以一種更有效的方式實現了「分治法」的思想。

二叉樹排序，是將所有的節點放到乙個二叉查詢樹中，然後再按中序方法遍歷，結果得到乙個有序陣列。

缺點：存一棵二叉樹要占用大量節點空間；把結點插入二叉樹中需要花很多時間。

優點：二叉查詢樹隱含地實現了分治法（divide and conquer）；二叉查詢樹的根結點將樹分為兩部分，所有比它小的記錄結點都在左子樹，所有比它大的記錄結點都位於其右子樹。（對其左右子樹分別進行處理）

首先選擇乙個軸值：find pivot；

然後進行陣列分割：partition；

qsa再對軸值的左右子陣列分別進行類似操作。

選擇軸值的方法

最簡單的是使用第乙個記錄的關鍵碼。這種方法的缺點在於如果輸入的陣列是正序的或者逆序的，就會將所有節點分到軸值的一邊。較好的是隨機選取軸值，優點是減少原始輸入對排序的影響，缺點是隨機選取軸值，開銷太大。可以用選取陣列中間點的方法代替。

函式partition

由於事先並不知道有多少關鍵碼比中心點（軸值）小，我們可以用一種較為巧妙的方法分割：從陣列的兩端移動下標，必要時交換記錄，直到陣列兩端的下標相遇為止。

假如事先知道有多少個節點比軸值小，partition只需將key比軸值小的 k 個節點放到陣列的 k 個位置上，關鍵碼比軸值大的元素放到最後即可。

陣列的分割

假設輸入的陣列中有 k-1 個小於軸值的節點，於是這些節點被放在陣列的最左邊的 k-1 個位置上，而大於軸值的節點被放在陣列最右邊的n-k個位置上。

在給定分割中的節點不必被排序，只要求所有節點都放在了正確的分組位置中。而軸值的位置就是下標k。

partition程式解析

partition函式的具體**如下，

int partition(int arr, int i, int r, int npivot)

while (m < r);
swap(arr[m], arr[r]);
return m;
}

分析：

m = i - 1;        保證了從陣列 arr[i] 開始處理。

arr[--r]保證了 arr[j] 沒有被處理。開始時邊界引數 m 和 r 在陣列的實際邊界之外，每一輪外層do迴圈，都將它們向陣列中間移動，直到它們相遇為止。

每層內層while迴圈，邊界下標都先移動，之後再與軸值比較。保證了每個while迴圈都有所進展，即使當最後一次do迴圈中兩個被交換的值都等於軸值時也同樣被處理。

第二個while迴圈中保持 r >= i，保證了當軸值所分割出來的左半部分的長度為 0 時，r 不至於會超出陣列的下界（下溢位）。

函式返回右半部分的第乙個下標值，因此我們可以確定遞迴呼叫quicksort的子陣列的邊界。

要做到上面這一點，必須保證在遞迴呼叫quicksort函式的過程中軸值不再移動。即使是在最差的情況下選擇了乙個不好的軸值，導致分割出了乙個空子陣列，而另乙個子陣列起碼有n-1個記錄。這種情況逆序輸出可好

前面所述，演算法中選擇最右邊的元素位置存放軸值，再把資料分成兩個部分後，再和右半部分最左邊的值交換，從而把軸值交換到中間位置。也可選擇最左邊的一元素位置作為軸值，並暫存軸值，空出此位置給高階不合適的值搬移到此處，然後高階又會空出乙個位置...如此迴圈，直到高低端指標相遇，空出的位置恰好放回軸值。

**示例如下：

#includeusing namespace std;

void swap(int &a, int &b)
int findpivot(int i, int j)
int partition(int arr, int i, int r, int npivot)
while (m < r);
swap(arr[m], arr[r]);
return m;
}void quicksort(int arr, int i, int j)
int main()
cout << "after sorting:";
quicksort(arr, 0, 9);
for (int i = 0; i < 10; i++)
cout << endl;
system("pause");
return 0;
}

後一種策略是在不斷的變動軸值的位置，直到軸值到合適的位置（高低指標相遇）。

#includeusing namespace std;

int partition(int arr, int low, int high)
arr[low] = arr[0];
return low;
}void quicksort(int arr, int low, int high)
}int main()
cout << "after sorting:";
quicksort(arr, 1, 8);
for (int i = 1; i <= 8; i++)
cout << endl;
system("pause");
return 0;
}

首先看對長度為k的子陣列進行 findpivot 和 partition 操作的例子。知道了 findpivot 和 partition 的時間，就可以分析快速排序的時間複雜度。

最差情況：出現在軸值未能很好的分割陣列，即乙個子陣列中無節點，而另乙個陣列中有 n-1 個節點。下一次處理的子陣列只比原陣列小1。如果上述這種情況發生在每一次分割過程中，那總時間代價為1 + 2 + 3 + ... + n = o(n*n)。這種情況僅在每個軸值都未能將陣列分割好時出現，並沒多大可能發生。所以這種最差情況並不影響快排的工作。

最佳情況：每個軸值都將陣列分成相等的兩部分，此時要分割 log2n 次，最上層原始待排序陣列中有 n 個記錄，第二層分割的陣列是2個長度各為n/2的子陣列，第三層分割的陣列是4個長度各為n/4的子陣列，以此類推，所以每層所有分割步驟之和為n。時間複雜度是o(nlog2n)。

平均情況：軸值將陣列分成長度為0和n-1、1和n-2、...，以此類推。這些分組的概率是相等的，o(nlog2n)

快速排序的改進

改變常數因子

1.尋找函式findpivot

三者取中法

random

看當前子陣列中第乙個，中間乙個及最後乙個位置的陣列

2.事實上，當 n 很小時，快排很慢。

用處理小陣列較快的方法來替換快排，如插入排序和選擇排序。但有一種更有效更簡單的優化方法：

當快排的子陣列小於某個閾值時，什麼也不做。儘管那些子陣列中的數值是無序的，但此時左邊陣列key都小於右邊，所以雖然快排只是大致將排序碼移到了接近正確的位置，不過已經基本有序，這樣的待排序陣列適用插入排序，最後一步僅是呼叫一下插入排序過程將整個陣列排序。最好的組合方式是當子陣列的長度小於9時就選用插入排序。

3.縮短執行時間與遞迴呼叫有關

由於每個快排操作都要對2個子序列排序，所以無法使用一種簡單方法轉換為等價的迴圈演算法。但當需要儲存的資訊不是很多時，可以使用棧模擬遞迴呼叫，實現快排。

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