設偏序集s。s能劃分成的最少的全序集的個數為k，s的最大反鏈的元素個數為m。
1. 先證明k>=m。設反鏈a=。假設k2. 再證明k=m。用第二數學歸納法。
設全序集s中有m個元素。
(1)當m=0和m=1時，對於命題結論顯然成立。
(2)假設m設x為s中的乙個極大元。考慮s'=s-這個偏序集。由於|s'|那麼對於任意乙個ai，ai的元素必定是k條鏈上，每條鏈取乙個元素。設為ai1,ai2,...,aik。
那麼我們考慮集合b= =。 這個集合一定也是一條反鏈。（用反證法很容易證明：假設存在兩個元素bi,bj(i（雖然最小鏈劃分的情況很多，可能存在bi和bj可比，但是bi和bj不可比一樣可以實現最小鏈劃分，因為如果bi與bj可比的話，那麼bi和bj是可以在同一條鏈當中）
現在考慮加入元素x的集合s。乙個顯然的事實是，加入乙個極大元，不可能讓劃分的最少鏈個數更少，但是也不能讓鏈的個數增加2及以上（否則肯定不滿足最少鏈）（這是因為元素x本身也可以組成一條鏈，所以最小鏈劃分最多只能多一）。也不能讓反鏈的最大長度更小。
分兩種情況：
①如果x這個極大元與b中每個元素都不可比。那麼考慮b∪，就是乙個長度為k+1的反鏈。那麼最少能劃分的鏈的個數至少是k+1。而加入乙個元素，鏈的條數至多增加1。因此，鏈的最少條數就是k+1。這樣，對於這種情況，命題對於m=n時也成立了。
②如果x與b中的某個元素可比，假設x與bi可比，那麼顯然x>=bi：
考慮集合 d=∪（這裡的指的的是r條長度為k的反鏈與包含bi的鏈的交集）。d顯然也是一條鏈。 現在考慮s''=s-d這個集合。由於每個長度為k的鏈都被我們抽掉了乙個元素，所以集合s''不會有長度為k的反鏈了，而長度為k-1的反鏈顯然是存在的（按照原來的構造）。由歸納假設，s''最少能劃分成的鏈也是k-1。不妨設劃分為了c'1，c'2，...,c'k-1。
那麼，我們對s就構造出了k條鏈的情況：c'1，c'2，...,c'k-1,d。
所以反鏈的長度最大為k了。而去掉x就已經可以構造出長度為k的反鏈，因此s的最大反鏈至少是k。因此最大反鏈就是k。
至此，證明結束。
參考文獻：
狄爾沃斯定理（Dilworth定理）
狄爾沃斯定理 dilworth s theorem 亦稱偏序集分解定理，是關於偏序集的極大極小的定理，該定理斷言 對於任意有限偏序集，其最大反鏈中元素的數目必等於最小鏈劃分中鏈的數目。此定理的對偶形式亦真，它斷言 對於任意有限偏序集，其最長鏈中元素的數目必等於其最小反鏈劃分中反鏈的數目，由偏序集p按...
飛彈攔截與Dilworth定理
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