設函式y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變數x在x0處有增量δx，(x0+δx)也在該鄰域內時，相應地函式取得增量δy=f(x0+δx)-f(x0)；如果δy與δx之比當δx→0時極限存在，則稱函式y=f(x)在點x0處可導，並稱這個極限為函式y=f(x)在點x0處的導數記作①f』(x0) ；②y』│x=x0 ；③ │x=x0， 即
導函式如果函式y=f(x)在開區間內每一點都可導，就稱函式f(x)在區間內可導。這時函式y=f(x)對於區間內的每乙個確定的x值，都對應著乙個確定的導數，這就構成乙個新的函式，稱這個函式為原來函式y=f(x)的導函式，記作y』、f』(x)、dy/dx或df(x)/dx，簡稱導數。
導數是微積分的乙個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻。
幾何意義
函式y=f(x)在x0點的導數f』(x0)的幾何意義：表示函式曲線在點p0(x0,f(x0))處的切線的斜率（導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率）。
（二）牛頓迭代法
牛頓迭代法（newton』s method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（newton-raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函式f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機程式設計中。
設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線l，l的方程為y = f(x0)+f』(x0)(x-x0)，求出l與x軸交點的橫座標 x1 = x0-f(x0)/f』(x0)，稱x1為r的一次近似值。
過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，並求該切線與x軸交點的橫座標 x2 = x1-f(x1)/f』(x1)，稱x2為r的二次近似值。重複以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f』(x(n))，稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。
根據牛頓迭代的原理，可以得到以下的計算sqrt（n）的迭代公式：x(n+1)=[x(n)+p/xn]/2。詳細解釋見下文。
一般性的程式設計方法如下：
複製**
1 double sqr(double n)
6 return k;
7 }複製**
（三）利用牛頓迭代法計算開平方根
這種演算法的原理很簡單，我們僅僅是不斷用(x,f(x))的切線來逼近方程x2-a=0的根。根號a實際上就是x2-a=0的乙個正實根，這個函式的導數是2x。也就是說，函式上任一點(x,f(x))處的切線斜率是2x。那麼，x-f(x)/(2x)就是乙個比x更接近的近似值。代入f(x)=x2-a得到x-(x2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。
過程如下：
首先隨便猜乙個近似值x，然後不斷令x等於x和a/x的平均數，迭代個六七次後x的值就已經相當精確了。
例如，我想求根號2等於多少。假如我猜測的結果為4，雖然錯的離譜，但你可以看到使用牛頓迭代法後這個值很快就趨近於根號2了：
( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944…
( 1.56944…+ 2/1.56944…) / 2 = 1.42189…
( 1.42189…+ 2/1.42189…) / 2 = 1.41423…
下面用c語言實現一遍：
複製**
1 #include 「stdio.h」
2 #include 「math.h」
34 int main(void)
5 17 printf(「平方根為%f\n」,y);
18 return 0;
19 }
複製**
程式執行結果：
複製**
請輸入乙個需要求其平方根的數：2
y=1.500000
y=1.416667
y=1.414216
平方根為1.414216
請輸入乙個需要求其平方根的數：3
y=2.000000
y=1.750000
y=1.732143
y=1.732051
平方根為1.732051
複製**
更快的方法
2023年12月，美國id software公司發布了名為「雷神之鎚iii」的電子遊戲。它是第乙個支援軟體加速的遊戲，取得了極大成功。（由於影響力過大，文化部於2023年將它列入了非法遊戲名單）
雷神之鎚iii並不是id software公司的第一次成功。早在2023年開始，這家公司就以「毀滅戰士」系列遊戲名聞天下。2023年，「毀滅戰士」的安裝數超過了當年微軟的windows 95。據傳比爾蓋茨才曾經考慮買下id software。（id software公司後來被推出過「上古卷軸」系列的bethesda公司買下）
id software所取得的成功很大程度上要歸功於它的創始人約翰·卡馬克。馬克爾也是乙個著名的程式設計師，他是id software遊戲引擎的主要負責人。 回到剛才提到的雷神之鎚，馬克爾是開源軟體的積極推動者，他於2023年公布了雷神之鎚iii的源**。至此人們得以通過研究這款遊戲引擎的原始檔來檢視它成功的秘密。
在其中乙個名字為q_math.c的檔案中發現了如下**段。
複製**
1 float q_rsqrt( float number )
複製**
這段**的作用就是求number的平方根，並且返回它的倒數。經測試這段**比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍。
以雷神之鎚iii程式為藍本可以寫出比sqrt()更強大的求平方根函式：
複製**
1 int sqrt(float x)
牛頓迭代法求平方根
sqrt 方法 public static double sqrt double c 什麼是牛頓迭代法 多數方程不存在求根公式，牛頓提出了一種用迭代來求方程近似根的方法。思路就是不斷取切線，用線性方程的根逼近非線性方程f x 0的根x 過程簡介 過點 xk,f xk 作函式的切線，切線方程是 切線與...
牛頓迭代法 求平方根
牛頓迭代法 求出根號a的近似值 首先隨便猜乙個近似值x，然後不斷令x等於x和a x的平均數，迭代個六七次後x的值就已經相當精確了。例如，我想求根號2等於多少。假如我猜測的結果為4，雖然錯的離譜，但你可以看到使用牛頓迭代法後這個值很快就趨近於根號2了 這種演算法的原理很簡單，我們僅僅是不斷用 x,f ...
牛頓迭代法求平方根
牛頓迭代法 newton s method 又稱為牛頓 拉夫遜 拉弗森 方法 newton raphson method 它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函式f x...