q:
implement int sqrt(int x).
compute and return the square root of x.
a:
這裡給出兩種實現方法:一是二分搜尋,二是牛頓迭代法。
1. 二分搜尋
對於乙個非負數n,它的平方根不會小於大於(n/2+1)(謝謝@linzhi-cs提醒)。在[0, n/2+1]這個範圍內可以進行二分搜尋,求出n的平方根。
1 int sqrt(int x)注:在中間過程計算平方的時候可能出現溢位,所以用long long。12 return j;
13 }
2. 牛頓迭代法
為了方便理解,就先以本題為例:
計算x2 = n的解,令f(x)=x2-n,相當於求解f(x)=0的解,如左圖所示。
首先取x0,如果x0不是解,做乙個經過(x0,f(x0))這個點的切線,與x軸的交點為x1。
同樣的道理,如果x1不是解,做乙個經過(x1,f(x1))這個點的切線,與x軸的交點為x2。
以此類推。
以這樣的方式得到的xi會無限趨近於f(x)=0的解。
判斷xi是否是f(x)=0的解有兩種方法:
一是直接計算f(xi)的值判斷是否為0,二是判斷前後兩個解xi和xi-1是否無限接近。
經過(xi, f(xi))這個點的切線方程為f(x) = f(xi) + f』(xi)(x - xi),其中f'(x)為f(x)的導數,本題中為2x。令切線方程等於0,即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。
繼續化簡,xi+1=xi - (xi2
- n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。
1 int sqrt(int x)牛頓迭代法也同樣可以用於求解多次方程的解。10 return int(res);
11 }
p.s. 本題是求解整數的平方根,並且返回值也是整型。在上述**基礎上稍微做修改,就可以同樣適用於double(僅限方法2)。
1 double sqrt(double x)10 return res;
11 }
牛頓迭代法求平方根
sqrt 方法 public static double sqrt double c 什麼是牛頓迭代法 多數方程不存在求根公式,牛頓提出了一種用迭代來求方程近似根的方法。思路就是不斷取切線,用線性方程的根逼近非線性方程f x 0的根x 過程簡介 過點 xk,f xk 作函式的切線,切線方程是 切線與...
牛頓迭代法 求平方根
牛頓迭代法 求出根號a的近似值 首先隨便猜乙個近似值x,然後不斷令x等於x和a x的平均數,迭代個六七次後x的值就已經相當精確了。例如,我想求根號2等於多少。假如我猜測的結果為4,雖然錯的離譜,但你可以看到使用牛頓迭代法後這個值很快就趨近於根號2了 這種演算法的原理很簡單,我們僅僅是不斷用 x,f ...
牛頓迭代法求平方根
牛頓迭代法 newton s method 又稱為牛頓 拉夫遜 拉弗森 方法 newton raphson method 它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式,因此求精確根非常困難,甚至不可能,從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函式f x...