KMP演算法的動態規劃解說

理解我接下來所說的東西，需要大家懂得簡單的動態規劃。

kmp大家都不陌生了，但是其中計算next陣列總是搞不明白，我想有很多人和我一樣。所以這裡用動態規劃的思路去描述一下這個問題。

模式串p=c[1]c[2]......c[n]

先設幾個符號：

suffix(s): s的所有字尾的集合

prefix(s): s的所有字首的集合

例如：suffix("abcd") =

prefix("abcd") =

看到，在這兩個集合都除去了"abcd"本身。

真對p定義next的意義：next[i]代表的意義是suffix(c[1]c[2]......c[i])與prefix(c[1]c[2]......c[i])兩個集合中最長相同串的長度（不包括串c[1]c[2]......c[i]）。那麼如何計算next呢？其實這個計算過程類似動態規劃的轉移過程，從初始狀態，不斷的根據轉移方程計算，直至計算出所有的可達狀態。

那麼狀態怎麼定義？初始條件是什麼？

設兩個游標p1,p2, p1,p2構成的位置對為狀態，例如p1在i位置，p2在j位置，i就代表c[1]c[2]......c[i]=c[j-i+1]c[j-i+2]......c[j]，即串的前i個字元與後i個字元相同。之後我們根據推出。我們依次計算，,......,。設lmax()=i，通過上面對next的定義，我們可知next[j]=max{lmax()|0<=i初始化的條件為 next[1] = lmax(<0, 1>) = 0。假設我們當前所在的狀態為,那麼如何推出呢？這必須得看c[i+1]與c[j+1]的關係，如果c[i+1]=c[j+1]，那麼我們到達的狀態；如果c[i+1]!=c[j+1]，那麼我們得根據所有可能的狀態，判斷c[i'+1]=c[j+1]是否成立，如果成立就到達狀態。那麼，我們如何找到這些合法的狀態呢？很慶幸，因為next陣列中天然的儲存了我們需要的資訊。當我們到達這個狀態並且發現c[i+1]!=c[j+1]，那麼下乙個嘗試的狀態將是，看看c[next[i]+1]=c[j+1]是否成立。而且我們發現，只要按照i,next[i],next[next[i]]......這樣下去找到第乙個能夠符合轉移條件的狀態就ok了，如果沒有乙個能夠使之轉移的狀態，就說明沒有乙個字首和當前的某個字尾是相等的，那麼直接跳轉到<0, j+1>這個狀態。

舉個例子吧: s=abcababc
為了方便理解，在s前加乙個萬用字元$
$abcababc          
<0, 1>             next[1]=0
||$abcababc          
<0, 2>             next[2]=0
| |$abcababc          
<0, 3>             next[3]=0
|  |$abcababc          
<1, 4>             next[4]=1
|  |$abcababc          
<2, 5>             next[5]=2
|  |下一步s[
3]!=s[6]，這將嘗試狀態3],j>=<0,j>，使之轉移到下面的狀態
$abcababc          
<1, 6>             next[6]=1
|    |$abcababc          
<2, 7>             next[7]=2
|    |$abcababc          
<3, 8>             next[8]=3
|    |

到此，有的同學又有疑問了，人家kmp定義的next[i]的意義和你的也不一樣呀。對，確實不一樣。

kmp中對next[i]的定義為：設文字串為t，模式串為p，p[i]!=t[j]時，應該用p[?]與t[j]進行比較。

對應於上例，得到的next陣列值應為

kmp的next: -1 1 1 1 2 3 2 3

我們的next: 0 0 0 1 2 1 2 3

怎麼通過我們的next獲取到正確的next呢？非常簡單，從後往前迴圈做next[i] = next[i-1]+1，之後next[1]=-1就哦了。

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