之前沒有細看，想不明白這個問題怎麼和最短路扯上關係，細細看了看，，也沒明白，，原因是在看dijk演算法的時候就沒好搞明白它的**實現，以至於這個問題模擬到最短路實現的時候一臉懵，還去瞅了瞅三角不等式是什麼東西，簡單來說，難就難在圖的構造上面，構造好圖之後就是模板，就是之前的內容了，一起看看這個東西吧，，
one：
two：
three:
給定m個一元不等式，以及n個變數x1-xn，【m個不等式即為m個約束條件】，求一組x1-xn的解。這個解呢，可以有很多個，可能只有1個，所以會衍生出3類問題：1》求任意兩個變數差的最大值 ；2》求任意兩個變數差的最小值 ；3》求有沒有一組解能滿足所有的約束條件；【三類問題隨命題人心情出現，可能單獨出現，可能成對出現】
給定n個變數和m個不等式，每個不等式的形式為 x[i] - x[j] <= a[k] (0 <= i, j < n, 0 <= k < m，a[k]已知)，求 x[i] - x[j] 的最大值。當n = 4，m = 5，給出如下圖所示的不等式組，求x3 - x0的最大值。
解題思路：
1》我們可以嘗試把幾個不等式組合得到最後我們要求的式子，於是這些式子裡最小的那個就是答案。
比如，在這個例子中：
由 (3) 得到：x3 - x0<=4；
由 (1) (4) (5) 得到： x3 - x0<=5；
由 (2) (5) 得到：x3 - x0<=3;
要同時滿足這三個式子，則最後結果就是這裡面最小的值：3 。【因為要同時滿足所有的式子！所以最大的取值即為所有式子集合的最小值，領會精神】。
2》在這個過程中，有沒有有點像最短路演算法？
神仙結論：求解差分約束系統，都可以轉化成圖論的單源最短路徑（或最長路徑）問題。
觀察上面例子中的不等式，都是 x[ i ] - x[ j ] <= a[ k ]，進行移項，轉化成為 x[ i ] <= x[ j ] + a[ k ] 的形式，我們令 a[ k ] = w(j, i)，dis[ i ]=x[ i ]，並使i=v,j=u,那麼原始就變為：dis[ u ]+w( u , v ) >= dis[ v ],於是可以聯想到最短路模型中的一部分**：
if(dis[u]+w(u,v)<=dis[v])3》但是好像不等號方向剛好相反？這並不矛盾：上面的**要實現的是：使dis[ u ]+w( u , v ) > dis[ v ]；而對於不等式，我們進行建邊的操作：對於每個不等式 x[i] - x[j] <= a[k]，對結點 j 和 i 建立一條 j -> i的有向邊，邊權為a[k]，求x[n-1] - x[0] 的最大值就是求 0 到n-1的最短路，兩者剛好吻合。所以求解差分約束問題就轉化為了最短路問題【雖然我也不太明白為毛如此巧妙】。
由於在求解最短路時會出現存在負環或者終點根本不可達的情況，在求解差分約束問題時同樣存在：
1》存在負環：如果路徑中出現負環，就表示最短路可以無限小，即不存在最短路，那麼在不等式上的表現即x[n-1] - x[0] <= t中的t無限小，得出的結論就是 x[n-1] - x[0] 的最大值不存在【聯想：滿足所有不等式，有乙個滿足不了的，就需要盡力去滿足，有乙個式子小於負無窮，你說人家怎麼滿足這個條件？】。在spfa實現過程中體現為某一點的入隊次數大於節點數。
2》終點不可達：這種情況表明 x[n-1] 和 x[0] 之間沒有約束關係，x[n-1] - x[0]的最大值無限大，即x[n-1]和x[0]的取值有無限多種。在**實現過程中體現為dis[n-1]=inf。
1》根據條件把題意通過變數組表達出來得到不等式組，注意要發掘出隱含的不等式，比如說前後兩個變數之間隱含的不等式關係。
2》進行建圖：
首先根據題目的要求進行不等式組的標準化。
(1)、如果要求取最小值，那麼求出最長路，那麼將不等式全部化成xi – xj >= k的形式，這樣建立j->i的邊，權值為k的邊，如果不等式組中有xi – xj > k，因為一般題目都是對整形變數的約束，化為xi – xj >= k+1即可，如果xi – xj = k呢，那麼可以變為如下兩個：xi – xj >= k, xi – xj <= k,進一步變為xj – xi >= -k，建立兩條邊即可。
(2)、如果求取的是最大值，那麼求取最短路，將不等式全部化成xi – xj <= k的形式, 這樣建立j->i的邊，權值為k的邊，如果像上面的兩種情況，那麼同樣地標準化就行了。
(3)、如果要判斷差分約束系統是否存在解，一般都是判斷環，選擇求最短路或者最長路求解都行，只是不等式標準化時候不同，判環地話，用spfa即可，n個點中如果同乙個點入隊超過n次，那麼即存在環。
值得注意的一點是：建立的圖可能不聯通，我們只需要加入乙個超級源點，比如說求取最長路時圖不聯通的話，我們只需要加入乙個點s，對其他的每個點建立一條權值為0的邊圖就聯通了，然後從s點開始進行spfa判環。最短路類似。
3》建好圖之後直接spfa或bellman-ford求解，不能用dijstra演算法，因為一般存在負邊，注意初始化的問題。
這應該也算是最短路演算法的應用了，**是要根據題目的形式去變換的，我還木有做題，，先把大佬的部落格mark住！
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