摘自
《線性代數的幾何意義》
我們知道，矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉、伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。
實際上，上述的一段話既講了矩陣變換特徵值及特徵向量的幾何意義（圖形變換）也講了其物理含義。物理的含義就是運動的圖景：特徵向量在乙個矩陣的作用下作伸縮運動，伸縮的幅度由特徵值確定。特徵值大於
1，所有屬於此特徵值的特徵向量身形暴長；特徵值大於0小於
1，特徵向量身形猛縮；特徵值小於
0，特徵向量縮過了
界，反方向到
0點那邊去了。
注意：常有教科書說特徵向量是在矩陣變換下不改變方向的向量，實際上當特徵值小於零時，矩陣就會把特徵向量完全反方向改變，當然特徵向量還是特徵向量。我贊同特徵向量不改變方向的說法：特徵向量永遠不改變方向，改變的只是特徵值（方向反轉特徵值為負值了）。這有點類似地說冬天深圳的室外「溫度
」是10℃，哈爾濱室外的「溫度」是-30℃(稱溫度而不溫)；也類似說無人飛機在海拔「高度」100公尺處飛行而核潛艇在海拔「高度」-50公尺（稱高度而不高）處遊弋一樣。
關於特徵值和特徵向量，這裡請注意兩個亮點。這兩個亮點乙個是線性不變數的含義，二個是振動的譜含義。
特徵向量是線性不變數
所謂特徵向量概念的亮點之一是不變數，這裡叫線性不變數。因為我們常講，線性變換啊線性變換，不就是把一根線（向量）變成另一根線（向量），線的變化的地方大多是方向和長度一塊變。而一種名叫「特徵向量」的向量特殊，在矩陣作用下不變方向隻變長度。不變方向的特性就被稱為線性不變數。
特徵值是振動的譜
除了線性不變數，另外乙個亮點是關於振動方面的。戲說在朝代宋的時候，我國就與發現矩陣特徵值理論的機會擦肩而過。話說沒有出息的秦少游在往池塘裡扔了一顆小石頭後，剛得到一句「投石沖開水底天」的泡妞詩對之後，就猴急猴急地去洞房了，全然沒有想到水波中隱含著矩陣的特徵值及特徵向量的科學大道理。大概地說，水面附近的任一點水珠在原處上下振動（實際上在做近似圓周運動），並沒有隨著波浪向外圈移動，同時這些上下振動的水珠的幅度在漸漸變小，直至趨於平靜。在由某塊有著特定質量和形狀的石頭被以某種角度和速度投入某個面積和深度特定的水池中所決定的某個矩陣中，紋波蕩漾中水珠的漸變過程中其特徵值起著決定性的作用，它決定著水珠振動的頻率和幅度減弱的衰退率。
在理解關於振動的特徵值和特徵向量的過程中，需要加入復向量和復矩陣的概念，因為在實際應用中，實向量和實矩陣是幹不了多少事的。機械振動和電振動有頻譜，振動的某個頻率具有某個幅度；那麼矩陣也有矩陣的譜，矩陣的譜就是矩陣特徵值的概念，是矩陣所固有的特性，所有的特徵值形成了矩陣的乙個頻譜，每個特徵值是矩陣的乙個「諧振頻點」。
美國數學家斯特讓（g..strang）在其經典教材《線性代數及其應用》中這樣介紹了特徵值作為頻率的物理意義，他說：
大概最簡單的例子（我從不相信其真實性，雖然據說2023年有一橋梁毀於此因）是一對士兵通過橋梁的例子。傳統上，他們要停止齊步前進而要散步通過。這個理由是因為他們可能以等於橋的特徵值之一的頻率齊步行進，從而將發生共振。就像孩子的鞦韆那樣，你一旦注意到乙個鞦韆的頻率，和此頻率相配，你就使頻率盪得更高。乙個工程師總是試圖使他的橋梁或他的火箭的自然頻率遠離風的頻率或液體燃料的頻率；而在另一種極端情況，乙個**經紀人則盡畢生精力於努力到達市場的自然頻率線。特徵值是幾乎任何乙個動力系統的最重要的特徵。
其實，這個矩陣之所以能形成「頻率的譜」，就是因為矩陣在特徵向量所指的方向上具有對向量產生恆定的變換作用：增強（或減弱）特徵向量的作用。進一步的，如果矩陣持續地疊代作用於向量，那麼特徵向量的就會凸現出來。
比如，乙個物理系統，其特性可以被乙個矩陣所描述，那麼這個系統的物理特性就可以被這個矩陣的特徵值所決定，各種不同的訊號（向量）進入這個系統中後，系統輸出的訊號（向量）就會發生相位滯後、放大、縮小等各種紛亂的變化。但只有特徵訊號（特徵向量）被穩定的發生放大（或縮小）的變化。如果把系統的輸出埠接入輸入埠，那麼只有特徵訊號（特徵向量）第二次被放大（或縮小）了，其他的訊號如滯後的可能滯後也可能超前同時縮小，放大的可能被繼續放大也可能被縮小同時滯後，縮小的可能被繼續縮小也可能被放大同時滯後等。經過n次的迴圈後，顯然，亂七八糟的大量的向量群眾們終不能成氣候，只有特徵向量們，心往一處想，勁往一處使，要麼成功出人頭地，要麼失敗殺身成仁。因此我們就可以因此在時間域上觀察輸出，就會得到乙個或幾個超級明顯的特徵訊號出來（特徵向量）。
弄過電路的哥們早看出了俺的含沙射影：切！繞什麼繞，你說的不就是振盪器的原理嘛，振盪訊號（電壓、電流）構成了特徵向量，特徵值是1，振盪訊號的頻率是…
是是是，就是振盪器的原理。其實振盪器原理是可以用矩陣的冪來解釋的。這個編輯器不好用，矩陣分析和細節這裡就忽略了。
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