本文內容包括向量，標量，點乘，叉乘，梯度，散度，旋度，複數的三種表現形式（笛卡爾，指數，極座標），三種座標系（笛卡爾，圓柱，球）及其對應的線路，面積，體積積分，拉普拉斯運算元，散度定理，旋度定理
不包含方向資訊
包含方向資訊
點乘，輸入兩個向量，得到乙個標量，可以理解為乙個向量在另乙個向量上的投影
叉乘，輸入兩個向量，得到乙個向量，可以理解為求出同時垂直於兩個向量的向量，方向由叉乘的順序決定（右手定則）
導數梯度，輸入模型的標量，得到向量，函式沿該向量變化率最大
散度，輸入模型的向量，得到標量，表示發散的強度（通源量密度）
旋度，輸入模型的向量，得到向量，表示旋轉方向（右手定則，四指為旋轉方向，拇指為旋度方向）和繞著這個旋轉軸旋轉的環量與旋轉路徑圍成的面元的面積之比
name
realtionship
gradf
∇fdivf
∇ · f
curlf
∇ × f
a = a + jb （a > 0, b > 0）
a = ae^jθ
a = a∠θ
θ是線與x軸正方向的夾角
先對模型求梯度，得到乙個向量，再對該向量求散度
#散度定理和旋度定理
此處以計算做功為例：f(r
)f(r)
f(r)
為在r處的力的函式，r為路線的函式
做功是∫f(
r)⋅d
r∫f(r)·dr
∫f(r)⋅
dr,可以用乙個引數t代替力和路徑裡的x,y,z，然後計算∫f(
r(t)
)⋅r(
t)dt
∫f(r(t))·r(t)dt
∫f(r(t
))⋅r
(t)d
t在起點和終點不變的情況下，路徑的變換可能會導致積分結果不同
這是線積分的一種特殊情況，下方的四條描述可以互相證明，滿足任何乙個描述即代表滿足其它三條描述
①f (r
)⋅dr
=f1d
x+f2
dy+f
3dzf(r)·dr=f_1dx+f_2dy+f_3dz
f(r)⋅d
r=f1
dx+
f2d
y+f3
dz在區域d內與路徑無關
②某個f的梯度gradf等於f
③對區域d內的曲線c的路線積分等於0
④（如果d是單連通的）curlf = 0
單連通代表d的平面沒有漏洞
路徑無關的積分滿足∫f®·dr = ∫gradf·dr = f(b) - f(a)
f的梯度為f,b是積分終點，a是積分起點
1.確定幾個輸入，即積分的起點a和終點b，積分的公式f(x,y,z)，沒有z則視為 0dz
2.求積分公式的旋度 ∇×f，如果結果為0，則證明此積分路徑無關（也證明了可以找到梯度為f的公式f）
3.求f，方法是依次尋找x,y,z對各自偏導的積分
4.已知f對x的偏導是a，則可以通過a對x積分得到:∫a dx+g(y,z),g是乙個未知方程
5.已知f對y的偏導是b，對∫a dx求對y的偏導，結果和b對比，得出g=原式+h(z)，h(z)是乙個未知方程
6.已知f對z的偏導是c，對f求對z的偏導，得出h(z)和最終的f (f會帶有乙個常數c)
7.最後，求f(b)-f(a)得出結果
su***ce integral 可以被拆解為四步
找到面的引數方程r(u,v)
通過n =r
u×rv
n=r_u\times r_v
n=ru×
rv找到面的法向量n，注意這裡的n求出來方向不一定是正的，需要代入某個點來觀察它的方向
∬fn dudv
代入fn
還有一種是∬sg
(r)d
a=∬r
g(r(
u,v)
)∣n(
u,v)
∣dud
v\iint_s g(r)da=\iint_rg(r(u,v))|n(u,v)|dudv
∬sg(r
)da=
∬rg
(r(u
,v))
∣n(u
,v)∣
dudv
和上面不同的只是得出n
nn之後的操作
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