\(q:\)高斯消元是什麼？聽起來好高階啊？？
\(a:\)二元一次方程組解過嗎？那就是高斯消元。
首先對高斯消元做一些準備：
\(q:\)什麼是線性方程組？
\(a:\)
雞兔同籠方程組 由\(m\)個\(n\)元一次方程所構成的方程組。
為了簡化表達，做出如下定義：
\(example:\)
假如現有一方程組：
\[\beginx_1+x_2+4x_3=17\\5x_1+x_2+4x_3=25\\8x_1+x_2+0x_3=19\end\]
其係數矩陣即為：
\[\begin1&1&4\\5&1&4\\8&1&0\end\]
(？？？)
增廣矩陣為：
\[\begin1&1&4&17\\5&1&4&25\\8&1&0&19\end\]
\(q:\)這些很簡單啊，接下來要幹什麼呢？
\(a:\)接著我們對方程組進行求解，包括如下\(3\)個步驟：
稱以上操作為矩陣的「初等行變換」。
\(q:\)這些毫無意義的語言 都是什麼意思啊？
以乙個二元一次方程組為例：
\[\beginx_1+9x_2=21\quad(1)\\9x_1+x_2=29\quad(2)\end\]
增廣矩陣：
\[\begin1&9&21\\9&1&29\end\]
\((1)*=-9:\)
\[\begin-9x_1+-81x_2&=-189\quad(1)\\9x_1+x_2&=29\quad(2)\end\]
增廣矩陣：
\[\begin-9&-81&-189\\9&1&29\end\]
\((1)+=(2):\)
\[\begin-80x_2&=-160\\9x_1+x_2&=29\end\]
\[\beginx_2&=2\\9x_1+x_2&=29\end\]
增廣矩陣：
\[\begin0&1&2\\9&1&29\end\]
\(swap((1),(2)):\)
\[\begin9x_1+x_2&=29\\x_2&=2\end\]
增廣矩陣：
\[\begin9&1&29\\0&1&2\end\]
怎麼樣，是不是很簡單啊？
初等行變換後的矩陣被稱為「階梯型矩陣」（是不是很像？並沒有）。
係數部分稱為「上三角矩陣」。
最後從下到上更新一遍即可求出方程組的解。
另外，若在求解過程**現了\(0=a\)的情況，則方程組無解。
若過程中無法消元（找不到乙個方程，\(x_1\sim x_\)係數為\(0\)，\(x_i\)係數不為\(0\)），則解不唯一，稱此類\(x_i\)為自由元。
時間複雜度 \(o(n^3)\)
空間複雜度 \(o(n^2)\)
接下來是實際應用。
p3389 【模板】高斯消元法
這就是裸的模板題了。
時間複雜度 \(o(n^3)\)
空間複雜度 \(o(n^2)\)
**：
#include #include inline double abs(double x)
int n;
double a[105][105];
const double eps=1e-7;//精度視情況而定，不要太小或太大
int main()
}for(int i=1;i<=n;++i)printf("%.2f\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
return 0;
}
稍微轉換一下題目
設已知點為\(a_i\)，求乙個點\((x_1,x_2,\dots,x_n)\)，使得存在常數\(dis\)，滿足
\[\forall i\in[1,n+1],\sum_(a_-x_j)^2=dis\]
這樣就有了\(n+1\)個方程，但發現無法求解。
考慮構造\(n\)個\(n\)元一次方程組進行高斯消元。
用相鄰的兩個方程做差，得：
\[\sum_(a_-x_j)^2-\sum_(a_-x_j)^2=dis-dis\]
\[\sum_(a_-x_j)^2-(a_-x_j)^2=0\]
\[\sum_2(a_-a_)x_j=\sum_(a_^2-a_^2)\]
高斯消元即可。
時間複雜度 \(o(n^3)\)
空間複雜度 \(o(n^2)\)
**：
#include #include #include const double eps=1e-8;
int n;
double p[15][15],b[15],c[15][15];
int main()
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
}for(int i=1;i<=n;++i)
printf("%.3f%c",b[i]/c[i][i],i==n?'\n':' ');
return 0;
}
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