高斯消元學習筆記

先來安利乙個部落格 高斯消元 & 線性基【學習筆記】

本文就講了最基礎的高斯消元，高斯消元的擴充套件應用可以看上面的那個呀w

高斯消元是用來解線性方程組的。所謂線性方程組，就是一次方程組。

對於解這個一般的線性方程組，求xi：

a11 * x1 + a12 * x2 + ... + a1n * xn = b1

a21 * x1 + a22 * x2 + ... + a2n * xn = b2
...an1 * x1 + an2 * x2 + ... + ann * xn = bn

×b)i

j=∑p

k=1a

ikbk

j 。

從這裡得到啟發，可以定義係數矩陣、未知數矩陣以及等式右邊的常數矩陣

a 、x和

b 。那麼根據矩陣乘法，我們可以將這一共 n 個等式極為簡單地描述為乙個等式，即 ax

我們將上述矩陣變為增廣矩陣：

我們需要乙個n行n + 1列的陣列來存

多出來那一列就是常數矩陣 b

–

for (int j = i + 1; j

<= n; j ++) 

所以double t = m[j][i] / m[i][i];除的是m[i][i]。

j是要被消的方程，k是被消的方程的第幾項

舉個例子比如n = 3時：

a11 * x1 + a12 * x2 + a13 * x3 = b1

a22 * x2 + a23 * x3 = b2
a33 * x3 = b3

（用最右邊應該還有一列常數項，注意常數項也要消元

然後直接回代即可。從下往上迴圈，每一次可以確定乙個變數，然後將其上面的所有行給代進去，將相應的係數變成 0，方程式右邊的常數項也相應地減去相應的量。

接著上面的那個例子：

a11 * x1 + a12 * x2 + a13 * x3 = b1

a22 * x2 + a23 * x3 = b2
a33 * x3 = b3

a11 * x1 + a12 * x1 = b1 - x3 * a13

a22 * x2 = b2 - x3 * a23

最終就全解出來了

for (int i = n; i >= 1; i --) 

}

最終m[i][n]就是第i個未知數的解，因為第i個方程是xi = k的形式

–

int k = i;

for (int j = i + 1; i
<= n; i ++)
if (fabs(m[j]
[i]) > fabs(m[k]
[i])) k = j;
if (k != i) for (int j = i; j
<= n + 1; j ++) swap(m[i]
[j], m[k]
[j]);

–

這就是高斯消元法。其的時間複雜度其實是相當好估計的。每一次先選擇兩行，再將這兩行開始消元，於是每一次消元需要列舉每乙個矩陣中的變數，所以就是 o(

n2m)

，是立方級的。

inline

void gauss(int n) 
}for (int i = n; i >= 1; i --) }}

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