給出 \(n\) 組方程，每組方程形如 \(\sum\limits_^n a_ix_i = b_i\)，要求求出 \(x_1, x_2 \cdots x_n\) 或告知無解。
我們把這些方程轉化為矩陣 \(\begin & a_ & a_ & a_ & \cdots & a_ & b_1 \\ & a_ & a_ & a_& \cdots & a_ & b_2 \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ & a_ & a_ & a_ & \cdots & a_ & b_n \\ \end\)
我們希望最後的矩陣形如 \(\begin & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & c_1 \\ & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & c_2 \\ & 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & c_3 \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & c_ \\ & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & c_n \\ \end\)
對於第 \(i\) 行就能求出 \(x_i = c_i\)，即可求出解。
我們從上往下做，先將當前係數絕對值最大的移到當前這一行，減小誤差。
讓當前係數化為 \(1\)，即讓當前行的每乙個數都除以當前係數。
再用當前第 \(i\) 行的第 \(i\) 個係數（即為 \(1\)）消去 $j \ (j \not= i) $ 的第 \(i\) 個係數，把它消為 \(0\)。
重複做以上的操作，直到做到第 \(n\) 行，此時最後的矩陣形如上述。
最後說一下如何判無解和無限解：
無解：當前行係數全為 \(0\)，但值不為 \(0\)。
無限解：當前行係數全為 \(0\)，且值為 \(0\)。
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