陶哲軒實分析嚴謹數域理論體系搭建綜述

• 嚴謹實數理論體系的建立 ○ 引入實數定義 § 首先引入形式化定義liman來定義實數（僅僅定義了實數相等對應於柯西序列的等價） ○ 定義運算規律，證明運算規律的合理性 § 定義了形式實數liman的四則運算以及負運算、倒數運算，證明這些運算滿足胡式定義構造公理（一致性公理+確定性公理） § 至此，可以得到所有實數的形式化代數定律，並證明了一切的實數現象都是合理的，我們已經完成了所有實數的工作，但是我們卻不能得到關於任意實數的值。 ○ 賦值（對部分實數進行有理數賦值） § 在賦值之前，我們已經證明了所有形式化的代數定律，包括關於極限的定律 □ 即使我們沒有給極限下定義，我們也可以匯出所有關於極限的性質！神奇！我驗證了這點，即極限定理組6.1.19的所有定律都可以在沒有引入極限之前被證明，只不過我們使用的是形式極限 § 在賦值之後，發生了兩件事情，注意這兩件事情的先後關係 □ 第一件事情：我們希望確定任意實數具體的值。我們就可以得到理數、實數、整數的散布特徵，通過散步特徵再利用極限手段就能得到任意實數的值，即使我們沒有定義過極限！ □ 第二件事情：在得到了所有實數的值之後，我們才可以去定義真實極限的定義，並證明真實極限=形式極限。 □ 注意 ® 書本上沒有完成第一件事情的嚴謹論證，附錄b中陶使用了夾逼定理去做這件事情，這本質上是迴圈論證。但是我通過直覺感受到不使用夾逼定理也能夠完成第一件事情 ○ 根據散布特徵匯出實數的序的關係相關定理 § 對散布特徵進行一定的極限處理，就可以得到任意實數確定的值（用十進位制表示實數） § 對散布特徵進行推演得到關於實數序的性質定理，利用序的性質定理證明真實極限=形式極限 • 有理數和整數嚴謹理論體系的建立 ○ 引入整數、有理數形式化定義 § 僅僅定義了整數相等的條件。有理數同理 ○ 定義運算規律：加減乘除、負運算、倒數運算 § 至此，可以得到所有一切應該得到的代數定律。 ○ 賦值 § 在賦值之前，我們已經證明了所有形式化的代數定律【對於z來說，我們甚至完成了所有關於減法的性質證明。對於q來說，我們完成了所有關於除法性質的證明】 § 在賦值之後，所有的現象將得到滿足，唯一無法解釋的：是-n和n^(-1) □ -n到底是什麼東西。-n僅僅是乙個記號，用來表示-(0——n)。同時，-n的滿足: n+(-n)=0 這個性質。【也就是說，我們沒有賦予負整數物理意義，我們僅僅得到了負整數的所有形式化的性質】【因此我們得到了所有關於整數的所有性質，即包括形式化的性質，也包括數值上的計算結果。通過我們建立的完美理論，我們可以計算5-2=3,2-4=-2.但是我們不知道-2的意義，我們只知道他代表了n+(-n)=0的那個東西，就像我們只知道5代表了4++的那個東西一樣】 □ 對於n^(-1)也是同理！ § 只有賦值完成之後，才能將形式化定義的——、// 轉為真實的減法、除法 § 【原因是真實的減法和除法是基於真實的數的，這裡僅僅是證明了我們定義的形式化減法和除法，如果加上賦值以後，和真實世界的減法除法是一樣的】 § 不用以為這一步有多神奇，形式化的東西給他加上一點數就變成真實的東西，是很自然的事情 ○ 形式物件 § 在構造zqr時，我們分別引入了腳手架--,//,lim物件，我們僅僅通過定義特殊的相等概念來引入他們，這些相等的概念是 § --：a+c=b+d § //:a*c=b*d § lim:兩個柯西序列等價 § 請深刻分析，為什麼我們僅僅通過定義相等的概念就像證明形式物件和真正的物件是等價的。 § 在我的猜想裡是這樣的，數學家首先歸納了zqr滿足的所有代數定律，然後故意搭建出和zqr滿足同樣代數定律的形式物件。最終，我們只要給zqr做一定的賦值，即可完成形式物件和真實物件的等價性證明。 ○ 對形式物件的賦值 § 我們對形式物件進行部分賦值 § --:n--0=n § //:n//1=n

§ lim:lim（有理數常數q)=q

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陶哲軒實分析習題 13 5 1

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