演算法與資料結構之堆排序

堆的應用

優先佇列的主要操作：

例子：在n個元素中選出前m個元素？（比如，在100萬個元素中選出前100名）

排序，nlogn

優先佇列，nlogm（維護乙個容量為m的最小堆，遍歷完100萬個陣列之後，形成的最小堆中的m個元素就是最小的）

總共n個請求，使用普通陣列或者順序陣列，最差情況o(n^2)

使用堆，o(nlogn)

最大堆兩個特點：

二叉樹上任何乙個節點都不大於其父節點，（並不能說明，層數越高，值就越大）

是一顆完全二叉樹。除了最後一層外，其他層的節點數必須是最大值，最後一層，節點數雖然可以不是最大值，但是所有節點必須集中在左側，

用陣列儲存二叉堆，

節點規律：

步驟：將元素插入二叉堆的最底層，

shiftup調整，將插入元素與其父節點比較，一步步向上轉換**換規則：如果該節點比其父節點還大，就往上換）

步驟：把根節點彈出來，把最底下的元素拿出來放入根節點，

shiftdown調整，將根節點元素一步步向下轉換**換規則：比較左右孩子的大小，如果根節點比最大的子孩子還大，則將其與最大的孩子換位置）

可以借助二叉堆來實現，思路是：

將任意陣列依次insert到最大堆o(logn)（也可以使用heapify操作，將陣列形成最大堆，複雜度o(n)）

再從最大堆中依次彈出，就能得到排好序的降序序列；

（想要得到公升序序列，利用最小堆即可）

這是乙個將給定陣列，形成最大堆的方法，

將n個元素逐個插入到乙個空堆中，複雜度是o(nlogn)，而heapify過程，複雜度只有o(n)。

具體操作是：

將元素順序塞入最大堆中去，

對於所有的葉子節點，本身就是乙個最大堆，不用進行處理；從第乙個不是葉子節點的節點（從n/2的位置開始，逆序降到1）開始，逐級向上處理，將葉子節點的父節點當做乙個最大堆，這時候只需執行shiftdown操作，將小的根節點往下轉換，一直遞迴到最底層結束。

【分析】：

將n個元素逐個插入到乙個空堆中，演算法複雜度是o(nlogn)，

步驟：拿出最大堆頂端的最大值，與最後乙個元素交換，最大元素已經歸位，count–，拿出此時的頂端值，使用shiftdown調整頂端值，使得剩餘元素依然是乙個最大堆，繼續拿出頂端的最大值，與最後乙個元素交換，使用shiftdown調整，依次類推。

對於這個二叉堆的節點編號（根節點為0號），父節點與子節點的關係為：

parent(i) = (i -1) /2

left child(i) = 2 * i + 1

right chid(i) = 2 * i + 2

在堆中存放的是索引，陣列本身沒有發生改變。比較大小的時候，比較的是data資料，但是構建索引堆的時候，堆中存放的是data資料對應的下標。元素交換的時候，也只是交換索引即可。

構造reverse陣列，reverse陣列中存放的是陣列的下標在indexes中的位置。

使之與indexes陣列互為逆序，即indexes[i] = j , reverse[j] = i

indexes[reverse[i]]=ireverse[i]本身的定義就是表示索引i在indexes中的位置，因此indexes[reverse[i]]=i

reverse[indexes[i]] = iindexes[i]表示i這個位置的索引是誰，reverse表示這個索引在indexes中的位置，

演算法與資料結構 之堆排序