陣列的連續最大子段和

問題描述：輸入是乙個大小為n的整型陣列，要求輸出陣列的任何連續子陣列中的最大值。例如：輸入的陣列為array[10] = ;輸出最大連續子陣列和為array[2...6]：187

演算法1:對所有滿足0<=i<=j<=n的(i,j)整數對進行迭代，對每個整數對，程式都要計算array[i...j]的總和，並檢驗該總和是否大於迄今為止的最大總和。

演算法1的偽**描述如下：

1 maxsofar = 0
2for(i=0;ij)
3for(j=i;jj)
4     tmepsum = 0
5for(k=i;k<=j;++k)
6       tempsum +=array[k]
7       maxsofar = max(maxsofar,tempmax)

這段**簡潔明瞭，便於理解，但是程式執行的速度很慢，時間複雜度為o(n^3)。

演算法2:對於演算法1有乙個明顯的方法可以使其執行起來快得多。使得時間複雜度控制住平方o(n^2)。

第乙個平方演算法注意到，array[i...j]的總和與前面計算出的總和（array[i...j-1]）密切相關，利用這一點可以達到演算法2。

演算法2_1的偽**描述如下：

1 maxsofar = 0
2for(i=0;ii)
3   tempsum = 0;4
for(j=i;jj)
5 tempsum +=array[j]
6     maxsofar = max(maxsofar,tempsum)

第二個平方演算法是引入乙個陣列curarray，大小也為n，通過空間來換取時間，通過訪問外迴圈執行之前計算[0...i]各個連續字段總和。curarrary中的第i個元素包含array[0...i]中各個數的累加和，所以x[i...j]中各個數的總和可以通過計算curarray[j] -curarray[i-1]得到.

演算法2_2的偽**描述如下：

1 curarray[-1] = 0
2for(i=0;ii)
3   curarray[i] = curarray[i-1]+x[i]
4 maxsofar = 0
5for(i=0;ii)
6for(j=i;jj)
7       sum = curarray[j]-curarray[i-1
]8 maxsofar = max(maxsofar,sum)

演算法3：可以考慮採用法治演算法。初始問題是要處理大小為n的陣列，所以可以將其劃分為兩個子陣列a和b，然後遞迴的找出a、b中元素總和最大的子陣列分別為maxa、maxb。而最大子陣列要麼在a中，要麼在b中，要麼跨越a和b之間的邊界，我們將跨越邊界的最大子陣列記為maxc。我們通過分治演算法計算處了maxa和maxb，通過某種辦法計算處maxc。然後返回三個中的最大值就是我們所要的最大子陣列和。演算法的時間複雜度為o(nlogn)。如何計算maxc呢？通過觀察發現，maxc在a中的部分是a中包含右邊界的最大子陣列，而maxc在b中的部分是b中包含左邊界的最大子陣列。將這些綜合一起我們得到演算法3：

1
int maxsum3(1
,n)2

演算法4：我們現在採用運算元組的最簡單的演算法：從陣列最左端(元素x[0])開始掃瞄，一直到最右端(元素array[n-1])為止，並記下所遇到的最大總和的子陣列。最大總和開始設為0.假設我們已經解決了array[0...i-1]的問題，那麼如何將其擴充套件為包含x[i]的問題呢？我們用類似於分治演算法的原理：前i個元素中，最大總和子陣列要麼在前i-1個元素中（將其存maxsofar中），要麼其結束位置為i（將其存入maxendinghere中）。不從頭開始計算結束位置為i的最大子陣列，而是利用結束位置為i-1的最大子陣列進行計算。這樣就得到了演算法4：

1 maxsofar = 0
2 maxendinghere = 0
3for(i=0;ii)
4   maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0
)5 maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere)

理解這個程式的關鍵在於maxendinghere。在迴圈中第乙個賦值語句之前，maxendinghere是結束位置為i-1的最大子陣列的和，賦值語句將其修改為結束位置為i的最大子陣列的和。若加上array[i]的後的結果為正值，則該賦值語句使maxendinghere增大x[i]，若加上x[i]之後結果為負值，該賦值語句將maxendinghere重新設定為0（因為結束位置為i的最大子陣列現在為空）。這個地方有些難度，需要認真思考揣摩。時間複雜度為o(n),線性演算法，效率最高。

下面針對這4個演算法寫乙個完成的程式來進行測試，程式如下：

1 。#include 2
using
namespace std; //
求兩個數種最大值
3int max(const
int m,const
intn)
4 //
求三個整數中的最大值
7int max(const
int x,const
int y,const
intz)
8 //
演算法1函式實現
13int maxsum1(int *array,const
size_t len)
1426}27
return
maxsofar;
28 } //
演算法2.1的實現
29int maxsum2_1(int *array,const
size_t len)
3041}42
return
maxsofar;
43 } //
演算法2.2的實現
44int maxsum2_2(int *array,const
size_t len)
45 //
演算法3的實現
59int maxsum3(int *array,const
int begin,const
intend)
6072    tempsum = 0;73
for(int j=mid+1;j<=end;++j)
7478
return max(lmax+rmax,maxsum3(array,begin,mid),maxsum3(array,mid+1
,end));
79 } //
演算法4的實現
80int maxsum4(int *array,const
size_t len)
8189
return
maxsofar;
90 } int
main()91;
93int
choise;
94    cout<
1.演算法1
"<
95    cout<
2.演算法2_1
"<
96    cout<
1.演算法1
"<
97    cout<
3.演算法3
"<
98    cout<
4.演算法4
"<
99    cout<
5.演算法2_2
"<
100    cout<
0.退出
"<
101while(1
)102
126}
127return0;
128 }

參考文獻：《程式設計珠璣》第二版第八章演算法設計的藝術

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