最長上公升子串行O nlogn

令a[i]表示輸入第i個元素，d[i]表示從a[1]到a[i]中以a[i]結尾的最長子序列長度。對於任意的0 < j <= i-1，如果a(j) < a(i)，則a(i)可以接在a(j)後面形成乙個以a(i)結尾的新的最長上公升子串行。對於所有的 0 < j <= i-1，我們需要找出其中的最大值。

dp狀態轉移方程：d[i] = max(j = 1, 2, 3, ..., i-1 且 a[j] < a[i])①

對於最長不下降子串行，怎樣實現o(nlogn)演算法呢？我們知道o(n^2)的演算法複雜度高的原因就在於要更新d[i]的值，就必須在1~i-1中列舉找到最大的d[j]的值才能最終確定d[i]的值，於是我們可以這樣思考，能否直接把1~i-1中最大的d[i]的值儲存起來，從而實現直接檢索呢？於是就有了如下類似貪心的演算法（個人理解）。

/*預處理*/

const int maxn = 40010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n;
int a[maxn], s[maxn];
int d[maxn];
void init()

其中d[i]和①是一樣的意義，而s陣列表示的意義是：所有最長上公升子串行長度為d[i]時的a[i]的最小值②，請仔細理解這一段話，即s[d[i]] = min。

舉例說明：

可以看出，s序列是嚴格的遞增序列，可以這樣理解：d[i'] = 2的最小值一定比d[i'']值為1的最小值大，因為d[i''] > d[i']，就這麼簡單。那麼知道了s的值有什麼用呢？或許聰明的讀者已經看出來了，對於最長不下降子串行，只要每次將乙個a[i]的值在s陣列中進行檢索，返回的小於等於a[i]最後乙個元素的下標的位置（或者「下乙個下標的位置」③）一定就是d[i]的長度。

為什麼呢？因為在這下標前面的元素一定是小於a[i]的，所以d[i]的值也就是返回的下標的值，不懂的可以用筆模擬一下，這也是前面我們為什麼要這樣定義②的目的所在。

這裡還有乙個地方要注意，就是最長上公升子串行的問題和最長不下降子串行的問題，如問題：1、2、3、5、5的結果是4還是5？待會我會給出滿意的解法。

另外正確的二分求上界的寫法，我也會給出，寫到這裡，筆者不得不感嘆：乙個正確的二分查詢也是很難寫的。。④

/*最長不下降子串行 poj 1631*/

int bsearch(int x, int y, int v) //二分求上界
return x;} 
void dp()
printf("%d\n", ans);
}

如何求嚴格的最長上公升子串行呢？其實我們只要在二分時，把a[m] <= v改為a[m] < v即可。

對於最長不上公升子串行：模仿上面的定義，我們把s陣列的定義改為所有最長上公升子串行長度為d[i]時的a[i]的最大值，為什麼要是最大值呢？因為s陣列在這裡應該遵循嚴格的遞減序列才對，為了能夠檢索a[i]，我們必須使得返回的下標一定就是d[i]的值，具體的實現方法：s的初始值賦為-inf，二分查詢的過程需要改一下，s陣列更新時使用max。

/*最長不上公升子串行 poj 1887*/

void init()
int bsearch(int x, int y, int v)
return x;} 
void dp()
printf("  maximum possible interceptions: %d\n", ans);
}

這裡的二分是檢索a[i]在s陣列中的下標，如果沒有任何數比a[i]小，那麼返回值應該是s當前陣列的長度+1，不下降子串行剛好相反。

最長不下降子串行的優化：

對於最長不下降子串行，對於③我們發現，bsearch的過程相當於，對於乙個整數b來說，是求小於等於b的最後乙個元素的「下乙個下標」r是什麼？所以我們可以用到stl中的函式，upper_bound，這樣我們不必再去手寫二分，也就減少了一些**量。

/*核心***/

void dp()
printf("%d\n", ans);
}

最終，筆者還是不得不感嘆：乙個正確的二分查詢也是很難寫的。。。

對於④的解決方案：

最長上公升子串行O nlogn

最長上公升子串行 O nlogn

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