整數劃分 －－－ 乙個老生長談的問題:
1) 練練組合數學能力.
2) 練練遞迴思想
3) 練練dp
這道好題求:
1. 將n劃分成若干正整數之和的劃分數。
2. 將n劃分成k個正整數之和的劃分數。
3. 將n劃分成最大數不超過k的劃分數。
4. 將n劃分成若干奇正整數之和的劃分數。
5. 將n劃分成若干不同整數之和的劃分數。
1).若是劃分多個整數可以存在相同的：
dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m] dp[n][m]表示整數 n 的劃分中，每個數不大於 m 的劃分數。
則劃分數可以分為兩種情況:
a.劃分中每個數都小於 m，相當於每個數不大於 m- 1, 故劃分數為 dp[n][m-1].
b.劃分中有乙個數為 m. 那就在 n中減去 m ,剩下的就相當於把 n-m 進行劃分， 故劃分數為 dp[n-m][m];
2).若是劃分多個不同的整數：
dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1] dp[n][m]表示整數 n 的劃分中，每個數不大於 m 的劃分數。
同樣劃分情況分為兩種情況：
a.劃分中每個數都小於m,相當於每個數不大於 m-1,劃分數為 dp[n][m-1].
b.劃分中有乙個數為 m.在n中減去m,剩下相當對n-m進行劃分，
並且每乙個數不大於m-1，故劃分數為 dp[n-m][m-1]
方法可以分為兩類：dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];
第一類: n 份中不包含 1 的分法，為保證每份都 >= 2，可以先拿出 k 個 1 分到每乙份，然後再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]
第二類: n 份中至少有乙份為 1 的分法，可以先那齣乙個 1 作為單獨的1份，剩下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]
dp[i,j]表示將i分成j份的方案數。
dp[i,j]:=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+dp[i-j,3]+…+dp[i-j,j-1]+dp[i-j,j];
時間複雜度是n*k^2。o(n*k)的方法：
由於，dp[i,j]=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j];
dp[i-1,j-1]=dp[(i-1)-(j-1),1]+dp[(i-1)-(j-1),2]+…+dp[(i-1)-(j-1),j-1]
=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j-1];
因此,dp[i,j]=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j-1]+dp[i-j,j]
=dp[i-1,j-1]+dp[i-j,j];
就是它這個分法比較特殊
不是一堆一堆分的
而是每次把每一堆+1，或者把空堆變成1
就是看成與本題類似，但是可以有元素為0
得到：dp[i,j]=dp[i-j,j]+dp[i,j-1]
區別就是dp[i,j-1]中i沒有-1
參照hzwer的思想，因為元素可以為0，就算某一堆為空堆，總數也不需要-1
g[i][j]:將i劃分為j個偶數
f[i][j]:將i劃分為j個奇數
g[i][j] = f[i - j][j];
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j]
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