組合數學母函式

在數學中，某個序列的母函式(generating function，又稱生成函式)是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。

母函式可分為很多種，包括普通母函式、指數母函式、l級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。　

1.「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來」

2.「母函式的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. 「

第一種型別：有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函式來解決這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函式1+1*x^1表示，

1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示，

1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示，

1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示，

我們拿1+x^2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量！初始狀態時，這裡就是乙個質量為2的砝碼。所以這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝碼有兩種狀態，不取或取，不取則為1*x^0，取則為1*x^2.

「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來」

接著討論上面的1+x^2，這裡x前面的係數有什麼意義？

這裡的係數表示狀態數(方案數)1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面說的不取2克砝碼，此時有1種狀態；或者取2克砝碼，此時也有1種狀態。

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。

例如右端有2^x^5 項，即稱出5克的方案有2種：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案數有2種，稱出10克的方案數有1種。

第二種型別：求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

以展開後的x^4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

兩個概念」整數拆分」和」拆分數」：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於乙個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

#include 
using
namespace
std;
const
int _max = 10001; 
// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目
// c2是中間量，儲存沒一次的情況
int c1[_max], c2[_max];   
int main()
for(i=2; i<=nnum; ++i)   // ----- ②
for(j=0; j<=nnum; ++j)     // ---- ⑤
}cout
<< c1[nnum] << endl;
}return
0;}

注釋：

① 、首先對c1初始化，由第乙個表示式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.

② 、 i從2到n遍歷，這裡i就是指第i個表示式，上面給出的第二種母函式關係式裡，每乙個括號括起來的就是乙個表示式。

③、j 從0到n遍歷，這裡j就是(前面i個表示式累乘的表示式)裡第j個變數，(如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的係數，i=2執行完之後變為（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，這時候j應該指示的是合併後的第乙個括號的四個變數的係數。

④ 、 k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表示式的增量是i）。

⑤ 、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從乙個表示式中開始的。

以下參考自

解題時，首先要寫出表示式，通常是多項的乘積，每項由多個x^y組成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。

通用表示式為

(x^(v[0]n1[0]) + x^(v[0](n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+…+x^(v[0]*n2[0]))

(x^(v[1]n1[1])+x^(v[1](n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+…+x^(v[1]*n2[1]))

… (x^(v[k]n1[k])+x^(v[k](n1[k]+1))+x^(v[k]*(n1[k]+2))+…+x^(v[k]*n2[k]))

k對應具體問題中物品的種類數。

v[i]表示該乘積表示式第i個因子的權重，對應於具體問題的每個物品的價值或者權重。

n1[i]表示該乘積表示式第i個因子的起始係數，對應於具體問題中的每個物品的最少個數，即最少要取多少個。

n2[i]表示該乘積表示式第i個因子的終止係數，對應於具體問題中的每個物品的最多個數，即最多要取多少個。

對於表示式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]=，n1[3]=，n2[3]=。

解題的關鍵是要確定v、n1、n2陣列的值。

通常n1都為0，但有時候不是這樣。

n2有時候是無限大。

之後就實現表示式相乘，從第乙個因子開始乘，直到最後乙個為止。此處通常使用乙個迴圈，迴圈變數為i。每次迭代的計算結果放在陣列a中。計算結束後，a[i]表示權重i的組合數，對應具體問題的組合數。

迴圈內部是把每個因子的每個項和a中的每個項相乘，加到乙個臨時的陣列b的對應位（這裡有兩層迴圈，加上最外層迴圈，總共有三層迴圈），之後就把b賦給a。

這些過程通常直接套用模板即可。

通用模板

//為計算結果，b為中間結果。
int a[max],b[max];
//初始化a
memset(a,0,sizeof(a));
a[0]=1;
for (int i=1;i<=17;i++)//迴圈每個因子

p是可能的最大指數。拿鈔票組合這題來說，如果要求15元有多少組合，那麼p就是15；如果問最小的不能拼出的數值，那麼p就是所有錢加起來的和。p有時可以直接省略。具體請看本文後面給出的例題。

如果n2是無窮，那麼第二層迴圈條件j<=n2[i]可以去掉。

如何提高效率？

用乙個last變數記錄目前最大的指數，這樣只需要在0..last上進行計算。

這裡給出第二個模板：

//初始化a，因為有last，所以這裡無需初始化其他位
a[0]=1;
intlast=0;
for (int i=0;iint last2=min(last+n[i]*v[i],p);//計算下一次的last
memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));//只清空b[0..last2]
for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//這裡是last2
for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//這裡乙個是last，乙個是last2
b[k+j*v[i]]+=a[k];
memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b賦值給a，只賦值0..last2
last=last2;//更新last
}

另外，至於什麼時候用第乙個模板，什麼時候用第二個模板，就看題目規模。 
通常情況下，第乙個模板就夠用了，上面的那些用第二個模板的題目用第乙個模板同樣能ac。 
但如果資料規模比較大（通常不會有這種情況），就要使用第二個模板了。

以上題目n1均為0。

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