圖1 為什麼fft時域補0後，經fft變換就是頻域進行內插？
應該這樣來理解這個問題：
補0後的dft（fft是dft的快速演算法），實際上公式並沒變，變化的只是頻域項（如：補0前fft計算得到的是m*2*pi/m處的頻域值，而補0後得到的是n*2*pi/n處的頻域值），m為原dft長度，n變成了補0後的長度。將（-pi,pi)從原來的m份變成了n份，如果將補0前後的這些頻域值畫在座標上，其中m*2*pi/m和n*2*pi/n重合的部分，它所對應的頻域值（變換後的值）是不變的，而在原來的m份裡多了(n-m)份的分量，即在頻域內多了(n-m)份插值，這樣理解就清楚了。
補零好處有二：
其一是，可使資料點數為2的整次冪，以便於使用fft
其二，對原資料起到了做插值的作用，一方面克服「欄柵」效應，使譜的外觀平滑，
另一方面，由於對資料截短時引起的頻域洩漏，有可能在頻譜中出現一些難以確認的譜峰（見《數字訊號處理》課本147頁圖6-13），補零後有可能消除這種現象。
圖2 dft洩漏和加窗-頻域分析的重要理論
在最後補零不能提高解析度
因為補零並不能增加資料的有效長度。
書上說了，好處有二：
其一是，可使資料點數為2的整次冪，以便於使用fft
其二，對原資料起到了做插值的作用，一方面克服「欄柵」效應，使譜的外觀平滑，
另一方面，由於對資料截短時引起的頻域洩漏，有可能在頻譜中出現一些難以確認的
譜峰，補零後有可能消除這種現象。
頻域的取樣率不是指頻域解析度，是指在頻域取樣點數
重複會出問題的… 做能量譜的時候… 能量譜做出來後會爽爽的變成乙個柵欄，但柵欄有數的地方還是對的。
圖3 dft解析度、補零和頻域取樣–頻域分析的重要理論
每乙個章節都要檢視一下：
二、柵欄效應與解析度
訊號x(n)的dft相當於對x(n)做z變換，然後在單位圓上對頻率進行n的點（等間隔）的抽樣，所以訊號x(n)被分解成乙個個訊號的組合，這些訊號都是單頻的且彼此之間等間隔離散。頻域離散也可以直接由傅利葉變換公式得到，或者直觀的由圖(d)得到。這些頻率都在基頻的整數倍處，不是連續的頻率函式，我們通過這個離散的頻譜函式來分析原函式的頻率分布。對於離散頻率之間的頻率資訊我們不得而知，這就是柵欄效應。
柵欄效應的本質就是頻率的離散化，它是頻譜率散化的一種形象的描述。
柵欄效應的產生導致了頻譜解析度的問題。頻譜解析度就是頻域兩相鄰譜線之間的頻率間隔。
首先需要明白，頻率有模擬頻率與數字頻率之分，模擬頻率表示的譜線間隔其實際值的數學表示式為fs/n（hz）也就是1/t，t為時域乙個週期的長度，計算公式為1/(ts*n),f為時域抽樣頻率，頻域譜線間隔等於時域週期的倒數，這個關係可以由變換關係式得到，任何形式的傅利葉變換都滿足這樣的關係。；數字角頻率與模擬頻率之間的關係為w=ω*t，其中ω模擬角頻率，所以數字角頻率表示的譜線間隔w=2π/n。
對於真正的頻率（模擬頻率）我們要增加頻譜解析度，表面看有兩種方法，減小取樣頻率和提高n。一般情況下我們是針對已有的取樣資料而言，因為fs已定，不能改變。所以解析度只能通過提高n來得到改善。在不改變原取樣資料的情況下，我們可以在訊號後面補零。這就是常說的補零法。
現在我們從dft公式上分析補零的效果。因為頻域點數和時域點數是相等的，所以首先頻譜點數增多。由正變換公式，設點數由n變為m*n，新變換的頻率用k1表示，當k1滿足m*k時，由exp(j*k1*2π/（m*n)可知此時的頻率點和未補零前k時的頻率點是重合的，此時正變換公式求和項與為補零前的求和項是一樣的，只不過增加了求和點數，不過這些點數也就是補的x(n)值是零，對求和並無影響。如果不化成真正的幅度，那麼這兩個頻譜圖在這些頻率點上頻譜圖是完全重合的。因為n發生了變化，所以真正的幅度以1/m的比例的發生了變化。
**結果如下，m等於2，也就是補了n個零。頻譜的幅度不是真正的幅度，沒有對其做除以n的處理。由於補了一倍的點，圖g可以看出，每隔乙個點，兩個頻譜都是重合的。相對於原來的頻譜函式，在頻域進行了內插，所以頻譜解析度提高了。
補零的結果是對已經截斷得到的訊號的頻譜解析度的提高，而不是對原來為截斷的訊號的解析度的提高。這由圖（d）可以很容易看出，補零後dft的結果使得圖10的譜線變的更密而更加逼近圖（6），而做不到使頻譜逼近圖（2），所以截斷而丟失的資訊無法通過補零而得到。
20180801：0839
第二種方法：相應地，我也可以通過把輸入訊號和每一種頻率的正余弦訊號進行相乘（關聯操作），從而得到原始訊號與每種頻率的關聯程度（即總和大小），這個結果便是我們所要的傅利葉變換結果，下面兩個等式便是我們所要的計算方法：
圖4 第二個式子中加了個負號，是為了保持複數形式的一致，前面我們知道在計算 時又加了個負號，所以這只是個形式的問題，並沒有實際意義，你也可以把負號去掉，並在計算 時也不加負號。
這裡有一點必須明白乙個正交的概念：兩個函式相乘，如果結果中的每個點的總和為0，則可認為這兩個函式為正交函式。要確保關聯性演算法是正確的，則必須使得跟原始訊號相乘的訊號的函式形式是正交的，我們知道所有的正弦或余弦函式是正交的，這一點我們可以通過簡單的高數知識就可以證明它，所以我們可以通過關聯的方法把原始訊號分離出正余弦訊號。當然，其它的正交函式也是存在的，如：方波、三角波等形式的脈衝訊號，所以原始訊號也可被分解成這些訊號，但這只是說可以這樣做，卻是沒有用的。
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