原來伯努利不等式還可以推廣到實數幕的形式以及一般形式；
既然看到就想辦法證明豈能這麼糊塗的就相信它的正確性，但是用普通方法根本無法證明，實
伯努利不等式是說：
當x＞-1時有
① (1+x)^n ≥ 1+nx (n≤0 或 n≥1)
② (1+x)^n ≤ 1+nx (0 ≤ n ≤ 1)
下面是伯努利不等式的一般形式：
③(1+x1)(1+x2)......(1+xn) ≥ 1 + x1 + x2 + ...... + xn (xi ≥ 0 或 -1＜xi＜0 ，n∈n+)
對不等式①②的證明如下：
構建函式 y = f(n) = (1+x)^n - (1+nx)；(x＞-1 且 x≠0)
則f'(n) = (1+x)^n * ln(1+x) - x
再次求函式f(n)的二階導數
則f''(n) = (1+x)^n * ( ln(1+x) )^2
不難發現 當 1+x ＞ 0時 函式f(n)的二階導數恆大於0，因此函式f(n)是凹函式；
又因為當 n=0 和 n=1時 是函式的兩個零點，我們可以勾勒出函式的大概影象是經過0,0與1,0兩點的凹函式；
因此有當 n＜0時y＞0 故(1+x)^n ＞ 1+nx
當 n＞1時y＞0 故(1+x)^n ＞ 1+nx
當0＜n＜1時y＜0 故(1+x)^n ＜ 1+nx
因此不等式①②得證，當n=0或n=1 或 x=0時等號成立
③伯努利不等式一般形式的證明：
當n=1時不等式顯然成立 1 + x=1 + x;
當n=2時 不等式為(1+x1)(1+x2)≥1 + x1 + x2
我們用作差法證明當n=2的情況
(1+x1)(1+x2) - (1 + x1 + x2)
=1 + x1 + x2 +x1*x2 - 1 - x1 - x2
=x1*x2 ≥ 0 故當n=2時命題成立
假設當n ≥ 2時命題都成立
則當n = n+1時
(1+x1)(1+x2)......(1+xn) (1+x[n+1]) 注：[n+1]為下標
= (1+x1)(1+x2)......(1+xn) + x[n+1] *(1+x1)(1+x2)......(1+xn)
≥(1 + x1 + x2 + ...... + xn) + x[n+1] *(1+x1)(1+x2)......(1+xn)
接下來考慮x[n+1] *(1+x1)(1+x2)......(1+xn)
當-1＜xi＜0時x[n+1] *(1+x1)(1+x2)......(1+xn) ＞x[n+1]
當xi≥0時 x[n+1] *(1+x1)(1+x2)......(1+xn)≥x[n+1]
綜上考慮有
(1+x1)(1+x2)......(1+xn) (1+x[n+1]) ≥ 1 + x1 + x2 + ...... + xn + x[n+1]
當n=1時 或 xi中最多有乙個不為0的項等號成立
則當n=n+1時命題仍然成立 得證
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