回溯法之n皇后問題

一、問題

在nxn格的棋盤上放置彼此不受攻擊的n格皇后。按照西洋棋的規則，皇后可以攻擊與之處在同一行或同一列或同一斜線上的棋子。n後問題等價於在nxn格的棋盤上放置n個皇后，任何2個皇后不放在同一行或同一列或同一斜線上。

二、演算法與分析

用陣列x[i]（1≤i≤n）表示n後問題的解。其中x[i]表示皇后i放在棋盤的第i行的第x[i]列。由於不允許將2個皇后放在同一列，所以解向量中的x[i]互不相同。2個皇后不能放在同一斜線上是問題的隱約束。對於一般的n後問題，這一隱約束條件可以化成顯約束形式。設2個皇后放置位置為(i,j),(k,l)：

顯然，棋盤的每一行上可以而且必須擺放乙個皇后，所以，n皇后問題的可能解用乙個n元向量x=(x1, x2, …, xn)表示，其中，1≤i≤n並且1≤xi≤n，即第i個皇后放在第i行第xi列上

由於兩個皇后不能位於同一列上，所以，解向量x必須滿足約束條件：

xi≠xj （式1）

若兩個皇后擺放的位置分別是(i, xi)和(j, xj)，在棋盤上斜率為-1的斜線上，滿足條件i－j= xi－xj，在棋盤上斜率為1的斜線上，滿足條件i＋j= xi＋xj，綜合兩種情況，由於兩個皇后不能位於同一斜線上，所以，解向量x必須滿足約束條件：

|i－xi|≠|j－xj| （式2）

為了簡化問題，下面討論四皇后問題。

四皇后問題的解空間樹是乙個完全4叉樹，樹的根結點表示搜尋的初始狀態，對應backtrack(1,x);從根結點到第2層結點對應皇后1在棋盤中第1行的可能擺放位置，從第2層結點到第3層結點對應皇后2在棋盤中第2行的可能擺放位置，依此類推。

完全4叉樹，我只畫了一部分，完整的應該是除了葉結點，每個內部結點都有四個子結點，k表示層數：

剪枝之後：

回溯法求解4皇后問題的搜尋過程：

當然這個圖只表示到找到的第乙個解，我們知道還有另外乙個解。

三、c++**

變數sum記錄可行方案個數，初始為1；

n表示皇后個數，由使用者輸入；

x陣列儲存問題的解，表示皇后i放在棋盤的第i行第x[i]列,初始時各元素都為0，而我們目的是求出有多少組（x[1],x[2],x[3]......x[n]）滿足擺放條件；

output(int x)函式作用是輸出當前找到的乙個可行解，只在搜尋到葉節點時才會呼叫；

place(int k,int x)函式作用是，對當前行k以上的所有行（即1到k-1行）逐行進行檢查，如果該行與上面任何一行相互攻擊（即位於同一對角線上了或同列了：abs(i-k)==abs(x[i]-x[k]) || x[i]==x[k]），那麼返回false，否則返回true；

backtrack(int k,int x)函式表示搜尋解空間中第k層子樹，k>n時，演算法搜尋至葉節點，得到乙個新的n皇后互不攻擊放置方案，那麼輸出該方案，可行方案數sum加1；k<=n時，當前擴充套件節點是解空間的內部節點，該節點有x[1],x[2],x[3]......x[n]共n個子節點，對每乙個子節點，用函式place檢查其可行性，如果可行，以深度優先的方式遞迴地對可行子樹搜尋，如果不可行剪枝。

#include #include using namespace std;
int sum=0;
int n;
int output(int  x)
cout << endl;
return 0;
}bool place(int k,int  x)
else 
}}int main()    
backtrack(1,x);
cout << endl;
cout << "解的個數：" << sum << endl;
system("pause"); 
return 0;
}

以上的程式易於理解，但如果表示成非遞迴方式，可進一步省去o（n）遞迴棧空間，使用非遞迴的迭代回溯法：

#include #include using namespace std;
int sum=0;
int n;
int output(int  x)
cout << endl;
return 0;
}bool place(int k,int  x)else
}else  
}}int main()    
backtrack(1,x);
cout << endl;
cout << "解的個數：" << sum << endl;
system("pause"); 
return 0;
}

執行結果：

再測試下程式，n輸入其他值：

n=8有92種，n=12有14200種。

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