回溯法求解N皇后問題

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回溯法：也稱為試探法，它並不考慮問題規模的大小，而是從問題的最明顯的最小規模開始逐步求解出可能的答案，並以此慢慢地擴大問題規模，迭代地逼近最終問題的解。這種迭代類似於窮舉並且是試探性的，因為當目前的可能答案被測試出不可能可以獲得最終解時，則撤銷當前的這一步求解過程，回溯到上一步尋找其他求解路徑。

為了能夠撤銷當前的求解過程，必須儲存上一步以來的求解路徑，這一點相當重要。

光說不做沒意思，用學過的演算法題來運用一下。

n 皇后問題：在乙個 n * n 的西洋棋棋盤中，怎樣放置 n 個皇后才能使 n 個皇后之間不會互相有威脅而共同存在於棋局中，即在 n * n 個格仔的棋盤中沒有任何兩個皇后是在同一行、同一列、同一斜線上。

求解思路：最容易想到的方法就是有序地從第 1 列的第 1 行開始，嘗試放上乙個皇后，然後再嘗試第 2 列的第幾行能夠放上乙個皇后，如果第 2 列也放置成功，那麼就繼續放置第 3 列，如果此時第 3 列沒有一行可以放置乙個皇后，說明目前為止的嘗試是無效的（即不可能得到最終解），那麼此時就應該回溯到上一步（即第 2 步），將上一步（第 2 步）所放置的皇后的位置再重新取走放在另乙個符合要求的地方…如此嘗試性地遍歷加上回溯，就可以慢慢地逼近最終解了。

需要解決的問題：如何表示乙個 n * n 方格棋盤能夠更有效？怎樣測試當前所走的試探路徑是否符合要求？這兩個問題都需要考慮到使用怎樣的資料結構，使用恰當的資料結構有利於簡化程式設計求解問題的難度。

為此，我們使用以下的資料結構：

int column[col] = row

表示第 col 列的第 row 行放置乙個皇后

boolean rowexists[i] = true

表示第 i 行有皇后

boolean a[i] = true

表示右高左低的第 i 條斜線有皇后（按→ ↓ 順序

從1~ 2*n -1 依次編號）

boolean b[i] = true

表示左高右低的第 i 條斜線有皇后（按→ ↑ 順序

從1~ 2*n -1 依次編號）

對應這個資料結構的演算法實現如下：

/** 
* 回溯法求解 n 皇后問題 
* @author haolloyin 
*/public
class n_queens   
for(int i = 0; i < queensnum * 2; i++)   
}  // 判斷該位置是否已經存在乙個皇后,存在則返回 true 
private
boolean i***ists(int row, int col)   
// 主方法：測試放置皇后 
public
void testing(int column)   
system.out.println();  
}else   
// 撤銷上一步所放置的皇后，即回溯 
rowexists[row] = a[row + column - 1] = b[queensnum + column - row] = false;  
}  }  
}  // 測試 
public
static
void main(string args)   
}

當 n = 8 時，求解結果如下（注：橫座標為列數，縱座標為行數

）：

(1,1)  (2,5)  (3,8)  (4,6)  (5,3)  (6,7)  (7,2)  (8,4)    
(1,1)  (2,6)  (3,8)  (4,3)  (5,7)  (6,4)  (7,2)  (8,5)    
(1,1)  (2,7)  (3,4)  (4,6)  (5,8)  (6,2)  (7,5)  (8,3)    
... ...  
... ...  
(1,8)  (2,2)  (3,4)  (4,1)  (5,7)  (6,5)  (7,3)  (8,6)    
(1,8)  (2,2)  (3,5)  (4,3)  (5,1)  (6,7)  (7,4)  (8,6)    
(1,8)  (2,3)  (3,1)  (4,6)  (5,2)  (6,5)  (7,7)  (8,4)    
(1,8)  (2,4)  (3,1)  (4,3)  (5,6)  (6,2)  (7,7)  (8,5)

當 n = 4 時，求解結果如下：

(1,2)  (2,4)  (3,1)  (4,3)    
(1,3)  (2,1)  (3,4)  (4,2)

有時間的話將輸出的結果列印為直觀一點的符號形式或介面形式更好。

小結：

1、根據問題選擇恰當的資料結構非常重要，就像上面 a 、b 標誌陣列來表示每一條斜線的編號順序以及方向都相當重要。看書的時候也是費了些時間來理解的，呼…另外，queens [col] = row 陣列只是用了一維而不是二維來表示縱橫交錯的方格棋盤上特定位置是否有皇后也是比較經濟而有意思的。

2、正確運用、組織所確定的資料結構到演算法的實現邏輯中也是很重要的，就像**中的 i***ists(int row, int col) 方法內的 (rowexists[row] || a[row + col - 1] || b[queensnum + col - row]) 就是很明確的理解了嘗試放置皇后的位置的 x ，y 座標與斜線之間的數值關係，才使得演算法得以正確執行。當然，對於斜線的編號、順序也是相當重要的。

回溯法求解N皇后問題

回溯法求解N皇后問題。

回溯法求解n皇后問題

使用回溯法求解N皇后問題

回溯法求解N皇后問題

回溯法求解N皇后問題。

回溯法求解n皇后問題

使用回溯法求解N皇后問題

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