multiple view geometry in computer vision a.4.1.1 (page 579)
將乙個 3x3 矩陣 $ a $ 進行 rq 分解是將其分解成為乙個上三角陣 $ r $ 與乙個正交陣（orthogonal matrix） $ q $ 的乘積。要求矩陣 $ a $ 的秩為3，即滿秩。
所謂矩陣 $ q $ 正交是指 $ q^tq=i $， $ q $ 可以看作是乙個旋轉矩陣。此旋轉矩陣由三個子旋轉矩陣點乘而來，即 $ q = q_xq_yq_z $ 。$ q_x, q_y, q_z $ 如下：
\[q_x = \begin
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos (roll) & -\sin (roll)\\
0 & \sin (roll) & \cos (roll) \\
\end
\]\[q_y = \begin
\cos (pitch) & 0 & \sin (pitch) \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin (pitch) & 0 & \cos (pitch) \\
\end
\]\[q_z = \begin
\cos (yaw) & -\sin (yaw) & 0 \\
\sin (yaw) & \cos (yaw) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end
\]將矩陣 $ a $ 右乘乙個矩陣，相當於將 $ a $ 進行一次初等列變換。
由 \(a = rq = rq_z^tq_y^tq_x^t\) 得 \(aq_xq_yq_z = r\)。
將 $ a $ 右乘 $ q_x $ 是將 $ a $ 的第一列保持不變，第二列和第三列進行線性組合，解釋如下：
\[ a = \begin
a_ & a_ & a_ \\
a_ & a_ & a_ \\
a_ & a_ & a_
\end \]
\[ aq_x = \begin
a_ & ca_ + sa_ & -sa_ + ca_ \\
a_ & ca_ + sa_ & -sa_ + ca_ \\
a_ & ca_ + sa_ & -sa_ + ca_
\end \]
上式省略了 $ roll $ ，將 $ [aq_x]_ $ 置為0。加上 \(c^2 + s^2 = 1\) 的條件，可以算出 \(c, s\)，求得 $ q_x $ 。
$ aq_x $ 的結果右乘 $ q_y $ 是將第二列保持不變，第一列和第三列進行線性組合，將 $ [aq_xq_y]_ $ 置為0，求得 $ q_y $ 。
$ aq_xq_y $ 的結果右乘 $ q_z $ 是將第三列保持不變，第一列和第二列進行線性組合，將 $ [aq_xq_yq_z]_ $ 置為0，求得 $ q_x $ 。
經過三次右乘（初等列變換）可以得到上三角陣 $ r $ 。
最後由計算得到的 $ q_x, q_y, q_z $ 通過 \(q = q_z^tq_y^tq_x^t\) ，得到 \(a\) 的 rq 分解。
對於 qr、lq、ql 分解使用類似的方式進行計算。qr 與 ql 分解是將矩陣 $ a $ 進行初等行變換。
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