擬牛頓法是一種以牛頓法為基礎設計的，求解非線性方程組或連續的最優化問題函式的零點或極大、極小值的演算法。當牛頓法中所要求計算的雅可比矩陣或hessian矩陣難以甚至無法計算時，擬牛頓法便可派上用場。考慮模型問題
最小化之，可得擬牛頓步長：
那麼，新的迭代為：
問題是，這裡的αkαk
和 bk b
k如何選取？
我們在割線方程的約束框架下，分別求解子問題：
和子問題：
可以得到hk
=b−1
k hk=
bk−1
的迭代：
當然，還有其他的一些hk
h
k更新方式：
k如何選取？只要保證wolf條件，就能保證其收斂性。取精確線搜尋步長時，其值為1。
基本框架如下：
在迭代的過程中，我們不需要顯性地去求bk
b
k，我們用到的只是它的逆，所以，我們可以用其逆hk
h
k的迭代公式進行搜尋迭代。
clc
clear
f = @(t)t(1)^2+2*t(2)^2;
x0 = [10,10]';
epsilon = 0.001;
h0 = eye(2);
method = 'bfgs';%dfp
x = quasi_newton(f,x0,epsilon,h0,method);
function
[xk,k] = quasi_newton
(f,x0,epsilon,h0,method)
%使用：quasi_newton(f,x0,method)
if nargin < 3
help mfilename;
endk = 0;
syms t1 t2;
t = [t1,t2]';
fs = f(t);
dfs = gradient(fs);
df = matlabfunction(dfs);
df = @(x) df(x(1),x(2));
df0 = df(x0);
normdf = sqrt(df0'*df0);
h = h0;
xk = x0;
dfk = df0;
while normdf > epsilon
p = -h*dfk;
alpha = cal_alpha(h,dfk);
xk1 = xk + alpha*p;
dfk1 = df(xk1);
sk = xk1 - xk;
yk = dfk1 - dfk;
eval(['h = ' method '(h,sk,yk);']);
%h = bfgs(h,sk,yk);
k = k + 1;
xk = xk1;
dfk = dfk1;
normdf = sqrt(dfk'*dfk);
xkendend
function
alpha = cal_alpha
(h,dfk)
%alpha = dfk'*h*dfk/(dfk'*h'*dfk);
alpha = 1;
endfunction
h = bfgs
(h,sk,yk)
gammak = 1/(yk'*sk);
skykt = sk * yk';
skskt = sk * sk';
e = eye(2);
h = (e-gammak*skykt)*h*(e-gammak*skykt) + gammak*skskt;
endfunction
h = dfp
(h,sk,yk)
hyk = h*yk;
yktsk = yk'*sk;
skskt = sk * sk';
h = h - (hyk*yk'*h)/(yk'*hyk) + skskt/yktsk;
end
初始點x0=
(1,1
)tx 0=
(1,1
)t。分別使用bfgs和dfp的更新公式。為兩種方法都設定初始矩陣h0
=ih 0=
i。通過簡單的8步迭代，我們就達到了乙個很高的精度，如下：
求解非約束優化問題的擬牛頓方法（BFGS DFP）
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